sunt disconexe, iar discurile pot fi tăiate din zone fără puncte singulare), suma conexă e bine definită, adică determină o suprafaţă unică până la transformări continue.
Să mai observăm că sfera poate fi privită drept O, adică elementul neutru al acestei operaţii, suma conexă a oricărei suprafeţe cu o sferă lăsând suprafaţa neschimbată ( din punct de vedere topologic). Astfel, operaţia de sumă conexă ne permite să enun
ţăm şi să demonstrăm următoarea teoremă de clasificare: Teoremă. Orice suprafaţă compactă (adică mărginită şi fără
bord) poate fi construită topologic, până la transformări continue, plecând de la o sferă şi adăugând, folosind sume conexe, un anumit număr de toruri şi plane proiective.
Suprafeţele care conţin cel puţin un plan proiectiv rezultă că
sunt neorientabile, un concept tehnic. Intuitiv, putem spune că
o suprafaţă neorientabilă nu are o parte interioară şi una exterioară; un exemplu e faimoasa sticlă a lui Klein de pe coperta acestei cărţi.
Suprafeţele compacte şi orientate sunt echivalente topologic cu covrigi cu un anumit număr de găuri; numim acest număr gen şi îl notăm cu g.
Rezultatul acesta apare pentru prima dată la Mobius, un student al lui Gauss. Figura 4.21 reprezintă deci o suprafaţă de gen 3, obţinută ca sumă conexă dintre una de gen 2 şi una de gen 1.
În 1895, Poincare publică articolul Analysis Situs, considerat azi textul întemeietor al topologiei modeme. Printre altele, Poincare introduce definiţia homeomorfismului, termen extrem de folosit azi în matematică pentru a spune că două obiecte sunt topologic echivalente, adică se pot transforma continuu unul într-altul. Se pune deci problema de a determina condiţii algebrice pentru studiul claselor de obiecte homeomorfe între ele.
Aşa apare conceptul de grup fundamental care se construieşte după cum urmează. Se ia un punct pe o varietate şi se consideră
toate curbele închise care trec prin el, adică toate drumurile În·
chisecare pleacă şi ajung în acel punct. Două drumuri se numesc GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 195
Figura 4.22
(omotop) echivalente dacă se pot deforma continuu unul în celălalt, rămânând tot timpul pe varietate.
În figura 4.22 vedem nişte drumuri pe un tor. În stânga avem un drum care poate fi deformat continuu la drumul nul; ne imaginăm drumul ca pe un elastic care poate fi strâns până
la un punct fără a-l tăia. În dreapta, sunt două drumuri care nu sunt echivalente cu drumul nul şi nici nu sunt echivalente între ele: ca să le contractăm la drumul nul sau ca să le aplicăm unul pe celălalt, ar trebui să le tăiem şi apoi să le lipim.
Elementele grupului fundamental sunt toate drumurile închise, până la echivalenţă. Suma a două drumuri e acela care se obţine parcurgându-le pe cele două unul după altul, iar elementul nul e drumul care constă în a sta nemişcat în punctul ales.
Grupul fundamental al torului e generat de două elemente, cele două drumuri neechivalente din figura 4.22, dreapta, pentru că orice alt drum e echivalent cu suma conexă a unui anumit număr de drumuri de aceste două tipuri.
Poincare observă că grupul fundamental e un invariant topologic, altfel spus că două varietăţi (de aceeaşi dimensiune) homeomorfe trebuie să aibă acelaşi grup fundamental. Îşi pune deci întrebarea când are loc reciproca.
În cazul suprafeţelor compacte, grupul fundamental determină tipul topologic; asta rezultă uşor din teorema de clasificare enunţată mai sus. În particular, până la homeomorfisme, sfera e singura suprafaţă închisă cu grup fundamental nul; de altfel, e destul de simplu de demonstrat, cu ajutorul figurii 4.23, că orice drum închis pe sferă poate fi deformat la drumul nul.
196 FORMA LUCRURILOR
În general, în dimensiuni mai
mari, grupul fundamental nu determină clasa de homeomorfism a varietăţii; acesta e motivul pentru
care s-au introdus şi alţi invarianţi
algebrici, de exemplu grupurile de
omotopie de ordin superior.
În 1904, Poincare se întreabă
dacă grupul fundamental e suficient măcar în cazul sferei de dimensiune 3; azi, întrebarea lui se Figura 4.23
formulează aşa:
Conjectura lui Poincare. O varietate compactă (mărginită şi fără bord) de dimensiune 3 cu grup fundamental nul (deci orice drum închis e echivalent cu cel nul) e homeomorfă
cu sfera 3-dimensională.
Sfera n-dimensională e o varietate care se poate descrie ca locul punctelor din spaţiul euclidian (n + l )-dimensional ale căror coordonate (x 1, x2, • • • ,x n + 1) satisfac ecuaţia polinomială x /+ x/ +
+ . . . +x\+ = I.
1
