Go to page:

Text Size:

Premiile sunt legate de rezolvarea a şapte probleme alese şi descrise de un comitet ştiinţific format din cei mai prestigioşi matematicieni activi (http://www.claymath.org/millenniumproblems). Una dintre probleme e conjectura lui Poincare.

În 18 martie 2010, Institutul Clay îi acordă unul dintre premii lui Perelman pentru soluţia conjecturii lui Poincare; motivaţia se încheie cu afirmaţia că „ne aflăm în faţa unuia dintre cei mai mari paşi înainte din matematică. Ideile şi metodele sale şi-au găsit deja numeroase aplicaţii în analiză şi geometrie; cu siguranţă, în viitor vor apărea multe altele".

În iulie 2010, Perelman renunţă la premiu, susţinând că

contribuţia lui nu e mai importantă decât a lui Hamilton şi, în general, criticând organizaţiile comunităţii matematice şi deciziile lor. Trebuie semnalată, în acest context, ostilitatea puternică a lui Shing-Tung Yau, laureat Fields în 1982, faţă de articolele lui Perelman şi o anume tentativă a sa stângace de a atribui meritul soluţiei unor matematicieni chinezi în legătură

GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 201

cu el - episod care atrage atenţia asupra luptei în curs pentru controlul domeniului cercetării ştiinţifice în lume.

Deocamdată, conjectura lui Poincare e singura rezolvată

dintre cele şapte probleme ale mileniului. Cea mai cunoscută

e, probabil, ipoteza lui Riemann, problemă de analiză matematică şi de teoria numerelor introdusă de Hilbert la începutul secolului XX într-o listă de 23 de probleme care, după părerea lui, ar fi trebuit să-i preocupe pe matematicienii secolului ce abia începea. Unele dintre cele 23 au fost deja rezolvate, altele declarate prea generice, trei sunt încă deschise, printre care şi ipoteza lui Riemann: cu siguranţă, când a anunţat premiile, Institutul Clay s-a inspirat şi din lista lui Hilbert.

Geometrii mai au încă şanse să câştige 1 milion de dolari, chiar dacă a fost rezolvată conjectura lui Poincare. Printre problemele deschise se mai află una de geometrie, anume conjectura lui Hodge (http://www.claymath.org/millennium-problems/ hodge-conjecture).

William Hodge a fost un matematician englez care, după

studii la Cambridge, a petrecut o lungă perioadă în universităţi de pe Coasta de Est a Statelor Unite, printre care Princeton şi Johns Hopkins, din Baltimore, pentru a se perfecţiona cu Solomon Lefschetz şi cu Oskar Zariski. Aceştia din urmă au fost fondatorii şcolilor americane de topologie, analiză complexă şi geometrie algebrică; opera lor a avut un rol crucial în afirmarea rolului de fanion al Statelor Unite în ştiinţa şi tehnologia celei de-a doua jumătăţi a secolului XX.

Ideea iniţială a lui Poincare de a asocia varietăţilor topologice anumite structuri algebrice, cume grupul fundamental, s-a impus ca metodă generală, dând naştere unei discipline pe care azi o numim topologie algebrică. Considerând nu doar curbe, ci subvarietăţi topologice de orice dimensiune, luate până la echivalenţă topologică (mai precis, până la echivalenţă omologică), ajungem să asociem unei varietăţi şi alte grupuri, numite grupuri de omologie şi dualele lor, zise grupuri de coomologie. Se studiază apoi condiţiile în care aceste grupuri determină varietatea 202 FORMA LUCRURILOR

cu care sunt asociate. Acesta e un mod concret de a studia varietăţi de o anumită dimensiune prin intermediul subvarietăţilor sale de dimensiune mai mică; e o abordare inductivă, se pleacă

de la puncte, cum a făcut şi Euclid, se trece apoi la curbe, la suprafeţe şi, treptat, cu dificultăţi tehnice tot mai mari, la varietăţi de dimensiune oarecare.

Hodge îşi concentrează cercetările pe structura grupurilor de coomologie ale unei varietăţi algebrice definite peste corpul numerelor complexe, despre care am vorbit mai înainte. Observă că, în acest caz, proprietăţile algebrice ale numerelor complexe, înmulţirea lor de factură specială şi operaţia de conjugare, se ridică la proprietăţi similare pe grupurile de coomologie. În plus, multe dintre elementele acestor grupuri pot fi determinate de ecuaţii diferenţiale speciale peste corpul numerelor complexe: printre acestea, deosebit de relevante sunt aşa-numitele clase ale lui Hodge.

Într-o varietate algebrică, elementele cele mai naturale ale grupurilor de coomologie sunt cele definite de subvarietăţi la rândul lor algebrice, adică definite ca zerouri ale polinoamelor; aceste elemente se numesc cicli algebrici.

În 1 950, Hodge a fost unul dintre principalii conferenţiari la Congresul Internaţional al Matematicienilor ţinut la Cambridge, Massachusetts, organizat la fiecare patru ani de Uniunea Matematică Internaţională, ocazie cu care se acordă şi Medaliile Fields. Expunerea lui a avut un impact puternic asupra studiilor ulterioare în geometria algebrică; în particular, a fost universal recunoscută importanţa claselor Hodge pentru clasificarea varietăţilor algebrice, compacte şi netede.

Cu acel prilej, Hodge a vorbit şi despre o anumită convingere a lui pe care, a spus, nu e în stare să o demonstreze:

Conjectura lui Hodge. Într-o varietate algebrică complexă, definită într-un spaţiu proiectiv, orice ciclu Hodge e omolog cu o combinaţie cu coeficienţi raţionali de cicli algebrici.

Hodge a propus, de fapt, o versiune mai tare a conjecturii, care însă s-a dovedit falsă, anume că orice ciclu Hodge ar fi algebric.

G EOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 203

Ipoteza că varietatea e algebrică şi parte a unui spaţiu proiectiv e necesară: lucrul a fost demonstrat recent de matematiciana franceză Claire Voisin.

Conjectura aceasta se află între proiectele de cercetare ale multor matematicieni, unii căutând o demonstraţie, alţii un contraexemplu. În oricare din cazuri, ,,câştigătorului" îi va reveni un premiu de I milion de dolari şi, mai ales, faima şi onoarea cuvenite cuiva care rezolvă una dintre cele mai dificile probleme ale geometriei moderne.