Figura 4.16 reprezintă, într-o proiecţie pe plan, varietatea Calabi-Yau obţinută ca loc al zerourilor unui polinom de gradul 5 în patru variabile complexe.
Varietăţile Calabi-Yau au dimensiune reală 6; unite cu spaţiul Minkowski 4-dimensional, formează o varietate de dimensiune 1 O. După părerea multor fizicieni, acest
tip de varietate IO-dimensională ar putea reprezenta teoria a tot ce există (theor:v of ever:vthing) despre care e vorba în filmul omonim despre Stephen Hawking. Aceasta e scopul final al unui program care, prin intermediul a puţine ecuaţii, încearcă să interpreteze în mod
unitar toate forţele care se manifestă în
Figura 4.16
GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 187
fizică.* Problema e tot cea indicată de Riemann: trebuie detenni- ""
nată convenabil varietatea (de tip Calabi-Yau) ale cărei relaţii metrice derivă din forţele constrângătoare care acţionează asupra ei.
DE LA PROGRAMUL DE LA ERLANG EN
LA PARTICU LA LUI DUMNEZEU
În 1905, Poincare observă că, într-o varietate 4-dimensională, forma pătratică c2dt2 - dx2 - dy- - dz2 e conservată de transformările de tipul: t' = r(t - :�} x' = y(x - vt), y' = y, z' = z Aceste transformări fuseseră descrise cu doar un an înainte de fizicianul Hendrik Lorentz care, la rândul său, observase că
ele nu modifică ecuaţiile care definesc câmpul electromagnetic - ecuaţiile de câmp ale lui Maxwell. Poincare propune ca grupul generat de aceste transformări să fie numit grupul transformărilor Lorentz.
În optica Programului de la Erlangen, relativitatea specială
poate fi privită drept studiul obiectelor şi al proprietăţilor invariante ale unei varietăţi 4-dimensionale pe care acţionează grupul lui Lorentz. Abordarea aceasta-a lui Poincare- diferă de cea a lui Einstein din acelaşi an. În orice caz, Poincare a fost primul care a enunţat, în 1904, faimosul principiu al relativităţii, conform căruia legile fizicii sunt aceleaşi (invariante) şi pentru un observator fix, şi pentru un observator care se mişcă rectiliniu şi uniform. Ba chiar se povesteşte că, la început, Einstein voise să-şi numească teoria relativităţii speciale tocmai teoria invarianţilor şi că Planck i-ar fi sugerat termenul norocos de relativitate.
* Varietăţile Calabi-Yau joacă un rol central în teoria corzilor (string theory) din fizică. Pentru detalii despre teoria corzilor, vezi Brian Greene, Universul elegant (Ed. Humanitas, Bucureşti, 2015). (N. tr.) 188 FORMA LUCRURILOR
Pare deci că introducerea în fizică a studiului invarianţilor anumitor transformări trebuie atribuită lui Poincare. Dar mulţi fizicieni, printre care laureatul Nobel Eugene Wigner, au învă
ţat acest program din lucrările lui Emmy Noether (1882-1935).
Fiica unui matematician german, Max Noether, Emmy, devine repede un exponent de marcă al şcolii germane de algebră. În 1915, Klein şi Hilbert o invită la Găttingen ca să le explice teoria algebrică a invarianţilor pe care o dezvoltase. Din pricina legilor rasiale, Noether se mută în Statele Unite, ajutată şi de Einstein, care o consideră matematiciana cea mai importantă din istorie.
Noether demonstrează o teoremă (care acum îi poartă numele) în care stabileşte existenţa unei legi de conservare (invarianţă) într-un sistem fizic cu simetrie (diferenţiabilă).
Rezultatul acesta introduce definitiv programul sau metoda lui Klein în fizică teoretică. Din acel moment, asemănător cu felul cum s-a procedat în geometrie, putem concepe un sistem fizic drept un ambient (fizic) şi un grup de transformări sau simetrii pe care fizicienii îl numesc grup de etalonare (gauge group).
În geometrie, o dreaptă sau, mai general, o geodezică poate fi concepută ca o traiectorie invariantă la izometrii şi care minimizează lungimea. Altfel spus, ca o soluţie a unei „probleme variaţionale" (parcursul minim), invariantă la grupul izometriilor. Cu instrumente din analiza matematică, se vede că geodezicele sunt soluţii ale unei ecuaţii diferenţiale invariante.
Analog, o particulă elementară din fizică e soluţia unei probleme variaţionale care provine dintr-o problemă de fizică, invariantă la acţiunea unui anumit grup de etalonare. Şi în aceste cazuri, folosind analiza matematică, particula poate fi gândită ca soluţie a unei ecuaţii diferenţiale invariante pe care fizicienii o numesc lagrangeană. De exemplu, electronul e soluţia unei probleme variaţionale într-un ambient spa
ţiu-timp 4-dimensional, invariantă la transformările din grupul Lorentz.
,,Rupând" simetria, adică lărgind grupul şi mărind libertatea de simetrie, sau lărgind spaţiul ambient (ca în geometria GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 189
algebrică cu spaţiul proiectiv), se introduc teorii fizice mai cuprinzătoare.
Un exemplu faimos avem în articolul lui Peter W. Higgs din 1964: ,,Broken Symmetries and the Masses of Gauge Bosons"
(,,Simetrii rupte şi masele bosonilor de etalonare"). În acest scurt articol, Higgs lărgeşte grupul de etalonare şi extinde spaţiul ambient, rupând simetria sistemului fizic; ca urmare, găseşte o particulă elementară (adică o soluţie a unui lagrangean invariant) pe care o numeşte bason cu masă, faimosul bason Higgs.
Cincizeci de ani mai târziu, fizicienii de la CERN, într-un experiment formidabil coordonat de italianca Fabiola Gianotti, obţin dovezi experimentale pentru existenţa acestui boson*.
TOPOLOGIA, GEOMETRIE EXTREMĂ
Am ajuns deci să considerăm geometria ca pe o disciplină care studiază un spaţiu ambient şi obiectele acestuia din perspectiva proprietăţilor lor invariante faţă de un grup de transformări. E firesc să ne întrebăm care poate fi grupul de transformări cel mai cuprinzător posibil, dincolo de care nu avem ce să mai căutăm fără să riscăm să sacrificăm rigoarea şi înţelegerea.
E greu să pui frâu minţii omeneşti, ne temem să îngrădim libertatea şi fantezia intelectuală; dar, dacă ne gândim bine, descoperim că tocmai limitele, obiective sau impuse, sunt cele care stimulează mintea şi-o împing către creativitate şi descoperire. Ştiinţa se deplasează de-a lungul graniţelor cunoaşterii, vrând să le studieze şi, dacă e posibil, să le depăşească, mutându-se dincolo de ele.
Se pare că, după ce au înţeles bine conceptul de transformare, geometrii din secolul XX au căzut de acord că transformările admisibile cele mai generale sunt, deocamdată, transformările
* Despre basonul Higgs, vezi Jim Baggott, Higgs. Inventarea şi descoperirea „Particulei lui Dumnezeu"(Ed. Humanitas, Bucureşti, 2018). (N. tr.) 190 FORMA LUCRURILOR
continue. Sunt transformări ale spaţiului sau, mai general, ale unei varietăţi, care îl deformează - lungindu-I, scurtându-l, îndoindu-l, curbându-l, dar fără să-l rupă sau să-l lipească. Transformările acestea formează un grup, pentru că inversa unei alungiri e o scurtare (retracţie) care e doar o alungire cu un factor negativ.
Tăieri şi lipiri nu sunt admise: pe de altă parte, a tăia, adică
