În 1980, Shigefumi Mori, matematician din şcoala din Kyoto, inspirându-se din ideile lui Enriques şi ale succesorilor lui, structurează în termeni moderni programul pentru clasificarea varietăţilor algebrice proiective. Programul modelelor minimale (MMP) sau Programul Mori constă într-o serie de reguli şi acţiuni care ar putea fi schiţate cam aşa:
I. Definirea modelului minimal al unei varietăţi: din punct de vedere geometric, e o varietate de aceeaşi dimensiune cu cea dată, obţinută din aceasta în urma unor proiecţii şi transformări biraţionale şi care nu mai poate fi proiectată
fără a suferi schimbări care-i alterează substanţial geometria. Din punct de vedere algebric, modelele minimale sunt caracterizate de nenegativitatea divizorului canonic.
2. Definirea unei proceduri prin care se poate decide dacă o varietate algebrică proiectivă admite un model minimal.
În caz contrar, să se dea o descriere precisă a varietăţii.
3. Clasificarea varietăţilor care admit modele minimale în clase determinate de alegerea modelului. Descrierea modelelor minimale şi găsirea de invarianţi numerici bira
ţionali care caracterizează diversele clase.
4. Descrierea transformărilor biraţionale care, aplicate varietăţilor dintr-o clasă, produc un model minimal corespunzător clasei.
184 FORMA LUCRURILOR
În 1960, matematicianul japonez Heisure Hironaka, profesor în Statele Unite, demonstrează că orice varietate algebrică proiectivă complexă e biraţional echivalentă cu una fără puncte singulare; pentru acest rezultat, primeşte, după câţiva ani, Medalia Fields. Demonstrat în cazul suprafeţelor de Pasquale del Pezzo, matematician italian de la începutul secolului XX, rezultatul acesta fundamental al lui Hironaka ne permite să ne limităm la cazul varietăţilor netede sau cu singularităţi foarte uşor de controlat.
Cât priveşte punctul 2, Enriques demonstrase că suprafe
ţele care nu admit modele minimale sunt suprafeţe riglate, adică
acoperite cu curbe raţionale (definiţia e mai generală decât cea pe care am dat-o în capitolul 3). Acestea includ suprafeţele ra/i onale, adică cele biraţionale cu spaţiul proiectiv de dimensiune 2. Castelnuovo şi Enriques au construit şi invarianţi numerici, numiţi plurigenuri şi iregularităţi, care determină când e o su prafaţă biraţională cu una riglată sau raţională; acestea sunt, probabil, rezultatele cele mai frumoase şi mai profunde ale şcolii italiene.
În dimensiune 3, Mori demonstrează că varietăţile care nu sunt uniriglate, care nu sunt acoperite de curbe raţionale, admit model minimal; în acest scop, introduce un nou tip de trans formare biraţională, foarte eficace, pe care o numeşte jlip.
Pentru varietăţile uniriglate, Mori propune o catalogare bazată pe varietăţi de bază (cum sunt atomii pentru elemen tele chimice), studiate de mai bine de o sută de ani de Fano �i de aceea numite varietăţi Fano. Pentru aceste descoperiri, Mori primeşte Medalia Fields în 1990.
Sunt mulţi matematicieni care, în ultimii treizeci de a n i , au lucrat la demonstrarea existenţei modelelor minimall'
pentru varietăţi care nu sunt uniriglate, în dimensiune m,l i mare. A reuşit, în 2010, o echipă internaţională formată d i n Caucher Birkar, Paolo Cascini, Christopher Hacon ş i JanH•:, McKernan, într-un articol publicat în Journal of thc l\nl('ri, 1111
Mathematical Society.
GEOMETRIA DIN ZILELE NO/\S 1 111 III',
Pentru acesta şi pentru alte rezultate inerente Programului ""
modelelor minimale, Hacon, de naţionalitate britanică, italiană
şi americană, şi McKeman, englez, au câştigat, în 201 8, Breakthrough Prize. Acesta, în valoare de 3 milioane de dolari, cunoscut ca Oscarul descoperirilor ştiinţifice, e promovat de oinstituţie sponsorizată, între alţii, de Mark Zuckerberg, domnulFacebook. În declaraţia iniţială, institutul scrie: ,,Cunoaşterea ecea mai mare resursă a umanităţii. Ne defineşte natura şi neproiectează viitorul. Corpul cunoaşterii s-a constituit de-a lungulsecolelor; dar şi o singură minte e capabilă să-l extindă enorm."
În august 201 8, Birkar, kurd de origine, refugiat politic şicetăţean britanic, primeşte Medalia Fields cu următoarea motivaţie: ,,Pentru demonstrarea existenţei doar a unui număr finitde familii de varietăţi Fano şi pentru contribuţii la realizareaProgramului modelelor minimale." Programul de protecţie arefugiaţilor politici în Marea Britaniei impune subiectuluischimbarea numelui: Caucher Birkar, care în kurdă înseamnă
,,matematician rătăcitor", nu e adevăratul lui nume.
Punctele 3 şi 4 ale Programului lui Mori sunt încă în bună
măsură neexplorate. S-a avansat mult în cazul suprafeţelor,plecând de la unele construcţii extraordinare de modele minimale datorate lui Enriques (suprafeţe Enriques şi suprafeţe detip general).
Iată cum prezintă Castelnuovo, într-o scriere din 1 928, lucrările despre suprafeţele algebrice elaborate împreună cu Enriques:1 ... 1 ca să ne găsim calea în bezna în care ne aflam, am fostnevoiţi să ghicim anumite proprietăţi care trebuiau să aibă
loc, cu modificări oportune, pentru suprafeţele (regulate şineregulate) din ambele categorii; puneam la încercare apoiaceste proprietăţi construind noi modele. Dacă treceau testul, atunci le căutam (era ultima fază) justificarea logică.
Procedând astfel, cam ca în ştiinţele experimentale, amreuşit să stabilim unele caractere distinctive între cele două
familii de suprafeţe.
186 FORMA LUCRURILOR
În fraza finală a cărţii sale, Enriques subliniază dificultatea de care s-au lovit în clasificare:
,,curbele algebrice sunt lucrarea lui Dumnezeu, suprafeţele, a diavolului".
Mari matematicieni din întreaga lume s-au aventurat în studiul modelelor de suprafeţe algebrice. Francezul Andre Weil a numit nişte suprafeţe descoperite în cursul cercetărilor sale cu sigla K3, pentru a apropia realizarea sa de contemporana cucerire a vârfului K2 din Caşmir.
Kodaira, Mumford şi Bombieri au extins studiul suprafeţelor la alte corpuri de numere şi au construit multe modele; panoplia suprafeţelor e azi foarte amplă şi, fără nici un dubiu, fascinantă.
Explorarea lumii varietăţilor algebrice de dimensiune mai mare ca 2 e încă la început; în ultimii douăzeci de ani au fost studiate modele minimale de mare frumuseţe care şi-au găsit aplicaţii imediate în fizică. Printre acestea, varietăţile Calabi-Yau, varietăţi algebrice de dimensiune complexă 3 cu divizor canonic nul, condiţie algebrică de platitudine care le face analoagele curbelor eliptice şi suprafeţelor K3.
