acesta din urmă a ezitat, nevăzând de ce ar trebui să refacă tot ce era deja în cartea lui Piero.
O editură bună (Paganino Paganini, din Veneţia) care foloseşte un sistem nou de imprimare în multe copii, şi un ilustrator excelent asigură curând succesul cărţii, furând practic paternitatea originalei De prospectiva care e aproape uitată.
Se pare că fra' Pacioli ar fi fost misteriosul matematician italian care i-a dezvăluit lui Diirer, şi deci concurenţei germane, secretele perspectivei. La rândul său, Diirer redactează un text cu titlul Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt*, considerat prima carte ştiinţifică în limba germană.
Prefaţa a fost scrisă de Erasmus din Rotterdam, iar în text Diirer
* Instrucţiuni pentru a măsura cu rigla şi compasul. (N. tr.) GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 175
îşi revendică sieşi domeniul, afirmând că va explica mai bine decât nişte oarecare „autori italieni de tratate care vorbesc despre lucruri pe care nu le stăpânesc bine".
Ideile artiştilor italieni sunt încorporate într-o teorie matematică consistentă abia după mulţi ani, într-o carte din 1639
a lui Girard Desargues. Matematicianul francez rezumă în câteva observaţii tot ce e necesar pentru a defini un plan proiectiv - acestea se numesc azi axiomele lui Desargues: 1. două puncte determină o dreaptă şi numai una singură; 2. două drepte determină un punct şi numai unul singur; Să observăm că, aşa cum indicase şi Riemann, spaţiile folosite în geometrie pot fi şi discrete, adică formate dintr-un număr finit de puncte. În cazul discret, celor două axiome ale lui Desargues trebuie să li se adauge că orice dreaptă conţine cel puţin trei puncte şi că planul conţine cel puţin trei puncte necoliniare.
Figura 4.11 conţine un model ciudat de plan proiectiv discret format din numai şapte puncte şi şapte drepte (una dintre ele desenată în formă de cerc). A fost inventat de Gino Fano, aşa că e numit planul lui Fana, şi reprezintă un model al axiomelor lui Desargues cu numărul minim de puncte şi drepte.
Definiţia planului proiectiv se extinde la dimensiuni superioare: spaţiul proiectiv tridimensional constă în spaţiul obişnuit căruia i se adaugă un plan format din toate punctele de la infinit. Urcând în dimensiune patru şi mai departe, obţinem spaţiul proiectiv de dimensiune n adăugând spaţiului euclidian al n-uplelor un hiperplan de dimensiune (n - 1) la infinit.
Ideea e de a ţine cont de comportarea obiectelor clin spaţiu la infinit, iar pentru asta trebuie să „organizăm" infinitul într-un hiperplan care poate fi explorat atunci când e
nevoie.
Definiţia riguroasă implică un pro
Figura 4.11
ces de abstractizare care depăşeşte
176 FORMA LUCRURILOR
scopurile acestei cărţi. Dar definiţia
p
a fost dezvoltată de Klein şi de alţi
matematicieni, dotând spaţiul pro
Q
iectiv cu o structură de varietate,
adică cu coordonate locale în jurul
fiecărui punct-punctele care nu se
află la infinit au coordonatele eucli-
diene obişnuite, dar pentru hiperplanul de la infinit se construieşte Figura 4.12
un alt sistem de coordonate, compatibil cu cel dinainte.
Pe spaţiul proiectiv acţionează în mod natural un grup de transformări numite transformări proiective sau proiectivităţi. Definiţia e tehnică, aici vom da numai o idee geometrică pentru cazul planului proiectiv. Să luăm două copii ale aceluiaşi plan şi să le privim ca plane paralele în spaţiu, situate la o anumită
depărtare unul de celălalt; fixăm apoi un punct P din spaţiu în afara amândurora. Fiecărui punct Q al unuia dintre plane îi asociem un punct Q ' pe celălalt plan, obţinut ca intersecţie a dreptei care trece prin P şi Q, aşa cum se vede în figura 4.12.
Într-un cuvânt, proiectăm Q din P în Q 'pe celălalt plan. Aparent, transformarea aceasta nu e definită în unele puncte, de exemplu pe dreapta de intersecţie dintre primul plan cu planul paralel cu al doilea şi care trece prin P. De fapt, transformarea e bine definită în toate punctele cu excepţia lui P, cu condiţia ca planele şi spaţiul însuşi să fie considerate proiective, adică să
li se adauge punctele lor de la infinit; în acest context, mai potrivit pentru ideile pe care le expunem, transformarea se numeşte perspectivă (sau proiecţie) a planului în el însuşi.
Compunerea a două proiectivităţi (din puncte diferite) nu e însă întotdeauna o proiectivitate. Primul care a observat această
proprietate a fost Leonardo da Vinci care, în Codex Atlanticus, a desenat prima anamorfoză, un desen care, privit din puncte diferite, reprezintă figuri diferite. Anamorfoza provine tocmai din compunerea unor perspective diferite; tabloul cel mai cunoscut GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 177
realizat cu această tehnică e Ambasadorii lui Hans Holbein cer Tânăr (l 533).
Grupul transformărilor proiective ale planului e acela care con
