Să abandonăm acum concepţia concretă a spaţiului, care pentru matematician nu este esenţială, şi să-l privim doar ca pe o varietate cu n dimensiuni; de fapt, cu trei dimensiuni, dacă ţinem la ideea obişnuită de punct ca element al spaţiului. Prin analogie cu transformările spaţiului, vorbim despre transformările varietăţii; şi ele formează grupuri.
Dar acum nu mai există, ca în spaţiu, un grup distins de celelalte prin semnificaţia lui; fiecare grup are importanţă
egală. Astfel, ca generalizare a geometriei, apare următoarea problemă cuprinzătoare:
Date o varietate ?i un grup de transformări ale ei, să se investigheze configuraţiile care aparţin varietăţii faţă de acele proprietăţi care nu sunt alterate de transformările grupului.
Dacă facem uz de o formulare modernă care, de fapt, e folosită de obicei numai cu referire la un anume grup, al tuturor transformărilor liniare, problema poate fi enunţată
astfel:
* Faptul că aceste transformări formează un grup rezultă chiar din definiţie. (N. a.)
GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 167
Date o varietate şi un grup de transformări ale ei; să se dez-""
volte teoria invarianţilor faţă de acest grup.
Aceasta e problema generală, şi ea nu conţine doar geometria obişnuită, ci şi, în particular, teoriile geometrice mai recente pe care ne propunem să le discutăm şi diferitele metode de a trata varietăţile cu n dimensiuni. Trebuie subliniat în mod deosebit faptul că alegerea grupului de transformări care se adaugă este perfect arbitrară şi, în consecinţă, toate metodele de lucru care satisfac condiţia noastră generală sunt, în acest sens, de valoare egală.
Recapitulând, Programul de la Erlangen propune următoarele reguli de bază pentru „a face geometrie":
1. Se fixează o varietate ambientă, de exemplu planul, sau spaţiul tridimensional, sau sfera ...
2. Apoi se alege un grup de transformări al varietăţii, numite simetrii.
3. Geometria (corespunzătoare) e formată din obiectele (submulţimi) sau de proprietăţile (propoziţii-teoreme) pe care le „conservă" în acţiunea lor simetriile grupului, adică
acelea care rămân invariante sub acţiunea simetriilor.
În cazul planului cu grupul de izometrii (translaţii, rotaţii şi reflecţii), dreapta, unghiul, triunghiul sunt obiecte invariante: o dreaptă e transformată de o izometrie tot într-o dreaptă, un triunghi, într-un triunghi. Paralelismul, măsura lungimilor şi a ariilor sunt proprietăţi invariante la izometrii. Acestea sunt obiectele şi proprietăţile care dau naştere geometriei euclidiene plane.
Dacă introducem şi dilatările, creăm o geometrie mai amplă, care conţine şi teoremele despre asemănare; grupul acesta păstrează paralelismul, dar nu lungimile, nici ariile.
Prima consecinţă a Programului de la Erlangen e că „geometria" devine o dată şi pentru totdeauna „geometrii". Fixat un ambient, dată deci o varietate, tipul de geometrie pe care vrem să-l facem depinde de alegerea grupului. Asta permite clasificarea geometriilor prin intermediul clasificării grupurilor. Permite 168 FORMA LUCRURILOR
şi evidenţierea unor analogii sau identităţi între geometrii diferite, studiind subgrupurile comune, după cum explică Klein în secţiunea „Adăugarea succesivă a unor grupuri de transformări dintre care unul le include pe celelalte. Diferitele tipuri de investigaţie geometrică şi relaţiile lor mutuale."
E un principiu pe care îl vom folosi mult în cele ce urmează, aşa că îl vom enunţa mai general, sub forma următoare. Presupunem date o varietate şi un grup de transformări ale sale. Se pune problema de a studia formele (configuraţiile) conţinute în varietate în relaţie cu o formă fixată. În acest caz, avem două
posibilităţi: o putem adăuga pe aceasta din urmă sistemului de forme, caz în care vom studia proprietăţile sistemului astfel extins faţă de grupul propus; sau putem să nu extindem sistemul, ci să limităm transfonnărilecare se pun la baza studiului la acelea care lasă forma respectivă neschimbată (şi care constituie în mod necesar un grup conţinut în cel dat).
Să ne ocupăm acum de problema inversă, care se poate deja înţelege. Să vedem care sunt proprietăţile obiectelor care se conservă la acţiunea unui grup de transformări care îl conţine, ca o parte a sa, pe cel principal. Fiecare proprietate pe care o vom găsi e o proprietate geometrică specifică a obiectului, dar nu şi reciproc. Astfel, dacă înlocuim grupul principal cu altul mai mare, proprietăţile geometrice se păstrează numai parţial. Cele care nu se păstrează nu mai apar ca proprietăţi specifice obiectului, ci ca fiind ale sistemului care rezultă adăugând acestora o anumită formă specială. Această formă specială (în măsura în care poate fi determinată) e definită de faptul că e fixată
numai de transformările din grupul principal.
În această propoziţie găsim atât ceea ce e specific noilor domenii ale geometriei pe care trebuie să le discutăm aici, cât şi raportul lor cu metoda elementară. Caracteristica lor e tocmai aceea de a pune la baza studiului, în loc de grupul principal, un alt grup de transformări ale spaţiului, unul mai extins.
Relaţia lor mutuală e determinată de o propoziţie analoagă, cu condiţia ca grupurile lor să fie conţinute unul într-altul.
GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 169
Următoarea problemă generală apare şi în Programul de lcT
Erlangen: fixată o metrică riemanniană, să se găsească toate transformările care lasă neschimbată metrica ( ,,forma respectivă"). Mulţimea acestor transformări (care în mod necesar constituie un grup) se numeşte grupul izometriilor varietăţii.
Grupul izometriilor planului dotat cu distanţa euclidiană
e tocmai grupul constituit din translaţii, rotaţii, reflecţii şi compunerile lor.
În cazul spaţiului euclidian (plat) tridimensional, determinarea grupului izometriilor trece prin câteva teoreme ale lui Euler. În fizică, această problemă se numeşte cinematica corpului rigid.
Dacă restrângem izometriile spaţiului numai la acelea care lasă neschimbată sfera, obţinem exact grupul de izometrii al sferei, cel studiat de Euler şi, mai apoi, de Gauss. Grupul acesta se numeşte grupul ortogonal şi e notat 0(3); e un grup Lie important şi poate fi gândit ca grupul matricelor 3x3 ale căror inverse sunt transpusele lor. Geometria sferică e studiul invarianţilor sferei faţă de transformările grupului 0(3).
Klein şi Poincare descriu grupul izometriilor suprafeţelor hiperbolice, respectiv ale discului şi ale semiplanului hiperbolic. Folosind numerele complexe şi regula lor de înmulţire, Poincare arată că aceste grupuri sunt restricţii ale unui acelaşi grup mai mare, anume grupul transformărilor liniare fracţionare, ale cărui elemente sunt transformările planului complex în el însuşi de forma
T(z) = az + b
cz + d
cu ad- bc =t- 0.
