Dar cu aceasta intrăm în domeniul altei ştiinţe, în domeniul fizicii, pe care caracteristicile împrejurărilor de faţă
nu ne permit să-l abordăm.*
Pare să fie aici un preludiu evident al ideilor lui Albert Einstein despre influenţa maselor şi forţelor gravitaţionale generate de ele asupra formei spaţiului; să-i lăsăm însă pe istoricii ştiinţelor să decidă.
Aşa se încheie prelegerea; Dedekind o descrie ca pe o capodoperă expozitivă, chiar dacă, cel mai probabil, prea puţini au înţeles-o atunci cu adevărat. Ba chiar povesteşte că Gauss, complet uluit în faţa unor concepte şi idei care îi depăşiseră cu mult
* Idem. (N. tr.)
GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 157
aşteptările, i-ar fi comunicat colegului fizician Wilhelm Weber,""
într-o neobişnuită stare de agitaţie „aprecierea enormă pentru profunzimea ideilor prezentate de Riemann". După ce, pe tot parcursul carierei lui, îşi considerase toţi colegii de nivel mediocru, să asiste la o prelegere în care un tânăr matematician prezintă limpede şi generalizează propriile lui rezultate trebuie să
i se fi părut de-a dreptul miraculos.
În 1859, Riemann a fost în sfârşit numit profesor de geometrie la Gottingen; în 1866, trupele prusace invadează oraşul, iar Riemann e constrâns să fugă în Italia. În toamna aceluiaşi an moare de tuberculoză, în apropiere de lacul Maggiore. Când vestea ajunge acasă, menajera din casa Riemann se apucă să facă
ordine în birou, aruncându-i notiţele, inclusiv multe lucrări rămase neterminate. Cu siguranţă, multe mari descoperiri ale lui s-au pierdut din pricina ordinei şi a curăţeniei-unele poate ascunse încă în lumea ideilor.
În anii care-au urmat, prelegerea lui Riemann a fost studiată, comentată şi comunicată de mulţi matematicieni din Gottingen, mai ales de Dedekind, Klein, apoi şi de Hermann Weyl.
Eugenio Beltrami îşi scrie memoriul fundamental despre geometriile neeuclidiene, despre care am vorbit în capitolul precedent, în 1868, anul imediat următor publicării prelegerii lui Riemann, şi foloseşte în mod esenţial formula pentru metrica unei varietăţi de dimensiune 3 cu curbură constantă egală
cu - 1 .
DE LA RIEMANN LA RELATIVITATEA GENERALĂ
În 1861, Riemann reia problema caracterizării varietăţilor riemanniene plate, într-o lucrare pe care o prezintă Academiei din Paris, concurând la un premiu pentru studiul transmiterii căldurii; nu câştigă, deoarece juriul găseşte argumentele sale prea puţin clare. În lucrarea lui, Riemann explicitează calculele 158 FORMA LUCRURILOR
necesare pentru a construi un sistem de coordonate cu metrica plată, plecând de la o expresie a metricii în coordonate arbitrare.
Calculele acestea conduc la o serie de ecuaţii diferenţiale pentru rezolvarea cărora Riemann deduce condiţiile necesare, exprimate prin ceea ce azi numim tensorul de curbură al lui Riemann.
Simplificând pe cât se poate, am putea defini un tensor de rangul r pe o varietate ca pe o funcţie care, în fiecare punct, asociază unei submulţimi de direcţii, zise vectori (şi covectori), o valoare numerică. În sensul acesta, curbura secţională ar putea fi înţeleasă ca un tensor care asociază fiecăror două direcţii independente curbura suprafeţei generate de ele. Tensorul trebuie să fie compatibil cu schimbările de coordonate: când schimbăm coordonatele, valoarea tensorului pe aceleaşi direcţii nu se schimbă.
Tensorul de curbură al lui Riemann e un tensor de rangul 4 (acţionează pe trei vectori şi un covector) care conţine toate informaţiile obţinute din curburile secţionale (care, la rândul lor, îl determină). Are loc deci următorul rezultat: Teoremă. Fie M o varietate riemanniană. Dacă tensorul de curbură al lui Riemann e nul, atunci varietatea e plată, adică există (local) parametri în care metrica are forma
✓dx� + ... +dx�
Reluând o notaţie folosită în capitolul 3, vom spune că două
varietăţi riemanniene egale până la o schimbare de coordonate sunt local izometrice.
Funcţia tensorului de curbură ar fi aceea de a identifica metrica (nu numai pe cea plată!) până la izometrii locale. Ceea ce e adevărat pentru varietăţi de dimensiune mai mare sau egală cu 3 dacă mai adăugăm o anume ipoteză, după cum au demonstrat matematicienii Ravindra S. Kulkarni şi Shing-Tung Yau. În cazul suprafeţelor însă există contraexemple destul de patologice.
Odată definit conceptul de varietate riemanniană, o mulţime cu relaţii metrice care permit măsurarea obiectelor conţinute în GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 159
ea, e natural să înceapă dezvoltarea unei teorii pentru determi.:"'
narea acestor măsuri, adică un calculus pe varietăţi.
În această întreprindere monumentală s-au aventurat doi matematicieni italieni, Gregorio Ricci-Curbastro şi elevul său Tullio Levi-Civita. În 1900, ei au publicat o carte celebră, intitulată Methodes de calcul differentiel absolu et leurs applications (Metode de calcul diferenţial absolut şi aplicaţiile lor), care va deveni repede manualul de referinţă pentru ceea ce, de atunci încoace, s-a numit calcul diferenţial absolut. În ea, cei doi au elaborat un mod de a deriva funcţiile definite pe varietăţi în manieră intrinsecă, introducând ceea ce azi numim conexiunea Levi-Civita. Extind apoi această derivare-conexiune la tensori, într-un mod convenabil şi foarte comod de manevrat, construind aşa-numitul calcul tensorial.
Ei redefinesc tensorul de curbură al lui Riemann şi alţi tensori de curbură, determinaţi de acesta, dar utili în anumite situaţii. Printre ei, tensorul de curbură al lui Ricci şi tensorul de curbură
scalară, de rangul 2 şi, respectiv, O, obţinuţi din tensorul lui Riemann (de rangul 4) contractând întâi doi dintre indicii lui, apoi pe cei doi rămaşi. Trebuie observat că tensorul lui Ricci e complet determinat de curburile secţionale, dar, în general, con
ţine mai puţină informaţie decât ele, deci nu e capabil să determine varietatea până la izometrii.
Cam în acelaşi timp, un fizician-matematician german, Hermann Minkowski, asistent al lui Hilbert la Gottingen, apoi profesor al lui Einstein la Zi.irich, îşi anunţă celebrul său punct de vedere într-o conferinţă din 21 septembrie 1908, ţinută în faţa Societăţii naturaliştilor şi medicilor germani: Conceptele de spaţiu şi de timp pe care aş vrea să vi le expun provin de pe tărâmul fizicii experimentale şi în asta constă forţa lor. Sunt radicale. De aici încolo, spaţiul înţeles de sine stătător şi timpul înţeles de sine stătător sunt sortite să dispară printre umbre şi doar un fel de reunire a lor va mai putea avea o realitate independentă.
160 FORMA LUCRURILOR
Conceptul de varietate, introdus cu puţină vreme în urmă de Riemann, se dovedeşte repede perfect pentru interpretarea intuiţiei lui Minkowski: realitatea fizică trebuie interpretată
ca o varietate care depinde de patru coordonate (t,x,y,z}: prima determină timpul, iar celelalte poziţia din spaţiul obişnuit.
Dar cum să determinăm metrica acestei varietăţi 4-dimensionale, adică acea conexiune dintre spaţiu şi timp cerută de Minkowski?
