Azi, o varietate cu o metrică se numeşte varietate riemanniană.
* B. Riemann, Ipotezele care stau la baza geometriei, trad. de E. Gergely, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1963. (N. tr.)
GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 1119
Să urmărim din nou explicaţiile originale ale lui Riemann": trecând peste multe detalii tehnice. Riemann observă că, pentru a măsura lungimea unei curbe pe o varietate, o împărţim în porţiuni foarte mici, infinitezimale, calculăm lungimile acestor porţiuni mici, apoi însumăm şi obţinem lungimea curbei. Lungimea unei porţiuni foarte mici e numită element de linie (Linielement) şi e notată ds.
Riemann îşi propune deci să „găsească o expresie generală
pentru ds în orice punct, expresie care să conţină coordonatele x; şi variaţiile lor infinitezimale dx/'.
În urma unei serii de observaţii-destul de obscure, de fapt-, Riemann deduce că ds trebuie să fie „rădăcina pătrată a unei forme pătratice în variabilele dx;, pozitivă în orice punct". Altfel spus, afirmă că are loc o relaţie de felul:
ds = .J g 11 dx� + . . . + gifdx; dxi + . . . + g •• dx; unde g x
i
l 'x 2, . . . xn) sunt funcţii simetrice în indicii i,j, care depind în mod regulat de punct, astfel încât cantitatea de sub radical să fie pozitivă (de exemplu, gixl'x 2, . . . xn) > O pentru orice i,j). Aceasta e definiţia unei metrici riemanniene pe varietate.
După cum a fost definită, metrica depinde de alegerea coordonatelor. Dacă se alege alt sistem de coordonate, metrica se va exprima cu ajutorul altor funcţii. Între cele două sisteme de funcţii există relaţii care se pot obţine din cele pentru coordonate. Iată ce spune textual Riemann: O expresie de acest fel [metrica] se poate transforma în alta asemănătoare, punând în locul celor n variabile independente funcţii de n variabile independente noi. Dar prin acest procedeu nu orice expresie este transformabilă în alta, deoarece expresia conţine n(n+ 1)/2 coeficienţi care sunt funcţii arbitrare de variabile independente [funcţiile gi). Prin introducerea unor noi variabile, se vor satisface însă numai n relaţii şi astfel se vor putea egala numai n coeficienţi cu mărimi date. Atunci ceilalţi n(n - I )/2 coeficienţi sunt determinaţi 150 FORMA LUCRURILOR
complet prin natura varietăţii ce
urmează a se reprezenta şi, prin
urmare, pentru determinarea metricii lor sunt necesare numai n(n - l)/2 funcţii de poziţie. Varietăţile în care, cum este cazul în
Figura 4.2
plan şi în spaţiu, elementul de li-
nie se poate aduce la forma ds = ,J dx� + . . . + dx2 ; + . . . + dx; , formează deci numai un caz special al varietăţilor de care ne ocupăm aici. Ele merită să poarte un nume special şi, ca atare, voi numi aceste varietăţi, în care pătratul elementului de linie poate fi exprimat ca suma pătratelor diferenţialelor independente, varietăţi plane [eben].*
Ultima frază spune că, de fapt, construcţia aceasta extinde cazul geometriei planului sau a spaţiului obişnuit. Într-adevăr, în plan, distanţa dintre un punct de coordonate (x"x 2) şi unul de coordonate U-\,Y2) se poate calcula cu teorema lui Pitagora, obţinând ,J(x
2
2
1 - y 1 ) + (x2 - y2 ) • Atunci elementul de linie ds se exprimă în funcţie de variaţiile infinitezimale dx; prin formula ds = ,Jc1x� + dxi (figura 4.2).
La fel şi în spaţiul obişnuit cu n dimensiuni, aplicând repetat teorema lui Pitagora, obţinem formula generală a elementului de linie: ds = ✓ dx� + . . . + dx; 2 + . . . + dx; Aici, funcţiile g sunt speciale: sunt constante, egale cu 1
ij
dacă i = j şi cu O dacă i i= j. Riemann botează acest tip de varietăţi plate.**
* Idem. (N. tr.)
** E. Gergely traduce adjectivul eben prin plan, dar termenul folosit acum în română este plat: varietăţi plate (în sensul că nu au curbură, vezi mai jos). Echivalentele francez, italian, englez sunt, respectiv: variete plate, varieta piatta,jlat manifold. (N. tr.) GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 151
Riemann se bazează pe cercetările profesorului său Gauss în privinţa suprafeţelor, şi recunoaşte acest lucru de mai multe ori pe parcursul prelegerii. Gauss nu calculase elementul de linie al unei suprafeţe cu teorema lui Pitagora în trei variabile spaţiale, ci cu o formulă care depinde de parametrii unei anumite parametrizări (x(u, v),y(u, v),z(u, v)):
ds = ,JE(u, v)du2 + 2F(u, v)dudv+ G(u, v)dv2
pentru nişte funcţii E(u, v), F( U, v), G(u, v), pe care le determină explicit pornind de la parametrizare. De exemplu,
E(u, v) = x11(u,v)2 + yJu,v)2 + z11(u,v)2 , unde x ,y
"
li şi z
li sunt deri-
vatele în variabila u.
Formula aceasta poartă numele de prima formă fundamentală; e exact definiţia metricii pe o varietate bidimensională, adică depinzând de doar doi parametri, u şi v, dată de Riemann în general.
Azi, punctul de vedere al lui Riemann (şi înainte al lui Gauss) e definit ca intrinsec varietăţii, adică nelegat de vreun mediu care ar conţine-o (cum e spaţiul obişnuit pentru suprafeţe), ci depinzând numai de varietatea însăşi.
