** B. Riemann, Ipotezele care stau la baza geometriei, trad. de E. Gergely, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1963. (N. tr.)
144 FORMA LUCRURILOR
mare în limitele observaţiei - şi după aceea se poate decide dacă este posibilă extinderea lor dincolo de limitele observa
ţiei, atât înspre infinitul mare, cât şi înspre infinitul mic.*
Proprietăţile ce caracterizează spaţiul între toate mărimile tridimensionale nu pot fi determinate decât experimental, crede Riemann. În această nouă perspectivă, axiomele lui Euclid sunt simple ipoteze, foarte probabile în limitele observaţiilor cotidiene sau locale, dar care trebuie verificate sau chiar negate experimental prin observaţii la o scară foarte mare ori foarte mică.
E teoretizat aici un punct de vedere diametral opus celui al lui Kant din Critica raţiunii pure, după cum am notat şi în capitolul I, care atribuie spaţiului o existenţă a priori, la care deci nu se poate ajunge prin experienţă.
Riemann adoptă o poziţie ce caracterizează matematica modernă: nu spune că geometria lui Euclid are nevoie de ajustări, nici nu propune aşa ceva. Face un pas în spate şi se întreabă care e obiectul de studiu al geometriei, indicând ca răspuns conceptul general de mărime, ba chiar, mai precis, pe acela de mărime multidimensională.
Ajuns aici, Riemann cere îngăduinţa cititorului faţă de încercarea pe care are de gând s-o facă, observând că acest tip de consideraţii de natură filozofică şi fundaţională nu sunt tocmai frecvente. Şi, ca o reverenţă în faţa corpului academic prezent, indică drept sursă de inspiraţie un articol al consilierului aulic (Herr Geheimer Hofrath) Carl Friedrich Gauss şi studiile filozofului antiidealist Johann Friedrich Herbart, fost profesor al aceleiaşi facultăţi din Gottingen. Continuă deci astfel: Se poate vorbi de mărimi numai acolo unde există o noţiune generală care admite mai multe modalităţi de determinare. După cum între aceste modalităţi există sau nu o tranziţie continuă de la una la alta, ele formează o varietate
* Idem. (N. tr.)
GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 145
[Mannigfaltigkeit] continuă sau discretă. Aceste modalităfi diferite de determinare se numesc în primul caz puncte, iar în al doilea caz elemente ale acestei varietăţi.*
Iată-ne, în fine, în faţa noului concept cu care va fi refondată
geometria, conceptul de Mannigfaltigkeit. Cuvântul apare aici pentru prima dată în matematică; azi, tradus în atâtea limbi, e printre cele mai frecvent utilizate în publicaţiile matematice.
În italiană a fost tradus prin varieta, în engleză ca manifold şi
variety, în franceză ca variete.**
În context nematematic, nu e un cuvânt nou şi are bune funcţii evocative: semnalez o splendidă poezie a lui Schiller, intitulată chiar Die Mannigfaltigkeit.
Riemann nu dă o descriere clară şi riguroasă a varietăţii, schi
ţează doar ideea. A fost nevoie de peste cincizeci de ani şi de contribuţia a mulţi matematicieni pentru a se ajunge la o definiţie modernă şi larg acceptată; dar şi azi noţiunea e mereu reexaminată, în căutarea unui concept încă şi mai versatil. Simplificând foarte mult, putem spune că o varietate n-dimensională e o mulţime parametrizată de n numere reale care variază
independent unul de altul. Altfel spus, fiecare element, punct, se identifică unic prin n numere (xl'x 2, • . . ,x0); acest n-uplu se numeşte coordonatele punctului.
Planul e un exemplu de varietate bidimensională în care fiecare punct se reprezintă prin două coordonate carteziene.
O hartă geografică, deci o reprezentare a sferei pe plan, e o descriere cu două coordonate a punctelor sferei.
Atenţie, însă! Nu se afirmă că modul în care se atribuie coordonate punctelor e unic: pot exista mai multe sisteme de coordonate pentru aceeaşi varietate. Să ne gândim la plan: oricărui punct i se asociază două coordonate de îndată ce s-au fixat o origine şi două axe ortogonale care trec prin ea. Când se schimbă originea sau axele, se schimbă şi coordonatele punctului.
* Idem. (N. tr.)
** Iar în română prin varietate. (N. tr.)
146 FORMA LUCRURILOR
Pentru fiecare regiune terestră se pot face mai multe hărţi geografice, unele mai extinse, altele mai reduse, dar poate cu rezoluţie mai bună.
În plus, s-ar putea să nu ajungă un singur sistem de coordonate pentru a descrie toate punctele unei varietăţi; de obicei, un sistem de coordonate descrie bine doar o submulţime, eventual foarte mare (deschisă), a varietăţii. Spunem, din acest motiv, că un sistem de coordonate e o descriere locală a varietăţii.
De exemplu, e imposibil să avem o unică hartă geografică pentru întreaga sferă terestră.
Dacă varietatea e bine definită, apar anumite relaţii între diferitele sisteme de coordonate, analoage celor care se folosesc când se schimbă harta geografică.
Posibilitatea de a varia sistemul de coordonate se dovedeşte foarte utilă în rezolvarea multor probleme geometrice care apar pe varietăţi. Pe de altă parte, ea constituie o dificultate atunci când se încearcă definirea, cu ajutorul coordonatelor, a unui concept geometric care se vrea intrinsec varietăţii, adică
independent de coordonatele alese. Mare parte dintre rezultatele geometriei modeme sunt obţinute prin alegerea convenabilă a unor sisteme de coordonate, combinată cu folosirea unor concepte intrinsece.
Riemann sugerează un mod de a construi, sau, măcar, de a imagina, o varietate de dimensiune n plecând de la una de dimensiune n - I . Pornind de la un punct, care se mişcă într-o direcţie, se obţine o curbă, deci o varietate I -dimensională; regăsim aici una dintre definiţiile originare ale curbei -punct în mişcare. Dacă însă s-ar deplasa în două direcţii, ortogonale între ele, s-ar obţine o suprafaţă; o suprafaţă se obţine şi dacă
se mişcă o curbă întreagă într-o direcţie transversă. Amintesc că aşa am construit suprafeţele de rotaţie, rotind o anumită
curbă, sau suprafeţele riglate, translatând o dreaptă.
În general, dacă se mişcă o varietate n-dimensională într-o direcţie pe care o s-o numim transversă, se obţine o varietate (n + 1) dimensională; altfel spus, varietatea din urmă poate fi GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 147
