Silviei,
care a dat formă viselor mele
Cuprins
INTRODUCERE . . . . . . . . • . . • . . • • . . • • • . . . . . . . . . • . . . . . . . .
9
1. SPAŢIUL, O PROBLEMĂ FILOZOFICĂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Geneza, geometria greacă 13 Galilei, Descartes şi Fermat, depă-şirea clasicismului 25 Naşterea analizei matematice 30 Geometria devine modernă 3 3
2. CURBE.............................................. 40
La început a fost punctul 40 Din nou în Grecia, originea lucrurilor 42 Teorema lui Pitagora: se intră în lumea ideilor 47 O
curbă după alta 49 Cum se construieşte o curbă 51 Descartes şi geometria 55 O problemă de tangenţă 60 Galilei, un nou mod de a pune problema 67 Calculul, alte probleme, alte curbe 71 Curbura ... şi drumul drept se pierde 81 În căutarea punctelor raţionale 84 Cum construiesc curbele cei născuţi în era digitală 91
3. SUPRAFEŢE..........................................
94
Arhimede şi geometria sferei 97 Şi suprafeţele se descriu cu ajutorul ecuaţiilor 105 Suprafeţele cu singularităţi. Recorduri 108 Drumul cel mai scurt rrr Teorema „egregium" a lui Gauss rrs Curbura unei suprafeţe rr8 Hărţi geografice r 24 Geometrii neeuclidiene r 30
4. GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE....................... 141
O lecţie academică 141 De la Riemann la relativitatea generală 158 Un program pentru a face geometrie 164 Cum să
pavezi spaţiul 171 Revoluţia pictorilor italieni 173 Geometria algebrică proiectivă 179 De la Programul de la Erlangen la particula lui Dumnezeu 188 Topologia, geometrie extremă 190 Problemele mileniului 201
CUPRINS
7
Introducere
Geometrie e un cuvânt care vine din greacă, yeoµerpta, şi înseamnă „măsura pământului". Termenul indică o disciplină
veche, unul dintre cele mai studiate şi sofisticate sisteme ale gândirii filozofice, capabil să fumizeze interpretări ale lumii în care trăim şi tehnicile de care avem nevoie ca să ne putem împlini aşteptările şi dorinţele, sistem care s-a dezvoltat printr-un proces evolutiv caracteristic speciei umane în raporturile sale cu spaţiul.
Azi, geometria e o ştiinţă organizată în mai multe subdomenii, cu multiple teme de cercetare şi probleme deschise, corelată în varii forme cu alte ştiinţe şi având numeroase aplicaţii în lumea tehnicii şi a producţiei. Fiecare şcoală, universitate sau centru de cercetări din lume are un sector, fie el didactic sau de cercetare, dedicat geometriei.
O poveste care a început cu peste trei mii de ani în urmă, în care regăsim caracteristicile dezvoltării evolutive a gândirii ştiinţifice, constând în lărgiri succesive ale domeniului studiat odată cu îmbunătăţirea continuă a tehnicilor de cercetare, marcată de momente de adevărată revoluţie a gândirii. O poveste corală, construită cu concursul foarte multor savanţi adesea necunoscuţi, caracterizată de opera câtorva mari maeştri ale căror fantezie şi inteligenţă i-au determinat dezvoltarea. Unii dintre cei mai mari oameni de ştiinţă contemporani lucrează
în acest domeniu, iar descoperirile lor sunt considerate printre cele mai originale şi fecunde din panorama ştiinţifică actuală.
În această „prezentare minimală" am vrut să ţin seama de dezvoltarea istorică a geometriei: am ales să povestesc anumite INTRODUCERE
9
aspecte care mi se par fundamentale prin prisma rezultatelor ""
obţinute de mari geometri, într-o perspectivă temporală, plecând de la Thales şi terminând cu Grigori Perelman. Atunci când s-a putut, am încercat şi să redau întocmai cuvintele protagoniştilor acestei aventuri a cunoaşterii. Matematica e şi un limbaj, acela al ştiinţei; formularea unor teorii noi sau a unor rezultate noi nu poate fi „neutră", ea reflectă gustul şi sensibilitatea ştiinţifică a autorului şi, aproape întotdeauna, determină dezvoltările ulterioare.
Cititorul să nu se lase totuşi înşelat, să nu creadă că va citi doar un text cu valenţe istorice. Teoriile descrise sunt deosebit de „robuste" şi, aplicate domeniului la care se referă, sunt azi absolut valide, în aceeaşi formă şi în acelaşi mod în care au fost create. Geometria euclidiană, de exemplu, care studiază planul obişnuit şi obiectele definite în el, e azi perfect egală cu aceea descrisă în Elementele lui Euclid.
Acest tip de abordare e, probabil, inevitabil pentru a prezenta o cunoaştere străveche care, după cum am mai spus, s-a dezvoltat lărgindu-şi treptat aria de cercetare şi rafinându-şi tehnicile.
Paginile primului capitol încearcă să schiţeze un cadru general al conţinutului cărţii, dimpreună cu câteva chei de lectură
de tip filozofic şi epistemologic.
Urmează alte trei capitole în care plec de la concepte de bază şi de la rezultate legate de ele, avansând treptat către idei mai complexe, ajungând până la unele dintre cele mai importante rezultate din geometria zilelor noastre. În capitolul al doilea e vorba despre curbe şi despre cum le-au folosit mari matematicieni ca să construiască teorii care stau acum la baza geometriei. În capitolul al treilea, studiem suprafeţele şi unele teoreme surprinzătoare care le descriu; sunt rezultate care au influenţat enorm şi au caracterizat istoria progresului uman.
În ultimul capitol e vorba despre varietăţi, obiecte geometrice cu mai multe dimensiuni, care generalizează curbele şi suprafeţele - concept extrem de versatil cu care geometria a putut ataca probleme puse de alte discipline ştiinţifice. Unele dintre 10
FORMA LUCRURILOR
