21
Într-adevăr, în geometrie nu se pot găsi probleme mai corn- ....
plicate şi mai grele scrise în elemente mai simple şi mai curate [decât în geometria lui Arhimede]. Unii pun claritatea pe seama inteligenţei lui Arhimede, iar alţii spun că
munca dusă până la exces le-a făcut să pară că au fost făcute uşor şi fără nici o sforţare. S-ar putea să nu găsim prin noi înşine demonstraţia vreunei probleme, dar, ajutaţi de învăţătura lui, avem impresia că am fi putut s-o găsim noi înşine, atât de uşor şi de repede ne duce la demonstraţie.*
Arhimede redactează şi un scurt tratat despre cum se ajunge la rezultatele din matematică: Metoda teoremelor mecanicii. Iată
ce scrie în partea introductivă:
m-am gândit că ar fi util să notez şi să-ţi prezint în aceeaşi carte o anume metodă particulară cu ajutorul căreia vei putea înţelege probleme de matematică prin intermediul mecanicii. Sunt convins că nu e mai puţin utilă pentru a găsi demonstraţiile respectivelor teoreme. De fapt, anumite lucruri, care mi s-au clarificat graţie metodei mecanice, au fost apoi demonstrate geometric, pentru că studiul lor cu metoda mecanică nu produce demonstraţii efective.
Asta pentru că e mai uşor să producem demonstraţia după
ce, în prealabil, folosind acea metodă, am aflat câte ceva despre problemă, decât s-o găsim fără a şti nimic dinainte.
Din acest motiv, în cazul teoremelor găsite întâi de Eudoxos, anume acelea despre con şi despre piramidă, conform cărora conul e o treime din cilindru, iar piramida o treime din prisma cu aceeaşi bază şi înălţime egală, nu puţin credit trebuie să-i dăm lui Democrit, primul care a stabilit proprietatea acestei figuri, chiar dacă fără demonstraţie. 1 ... J Aş vrea deci să-ţi explic în scris metoda J ... J în parte pentru că sunt convins că se va vădi extrem de utilă pentru
* Plutarh, Marcellus, trad. N. I. Barbu, în Vieţi paralele, voi. II, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1963. (N. tr.) 22
FORMA LUCRURILOR
Figura 1.5
matematică; într-adevăr, presupun că în generaţiile viitoare, ca şi în cea de-acum, se vor găsi unii care, prin metoda descrisă, vor fi în stare să găsească alte teoreme la care încă nu ne-am gândit.
Metoda mecanică la care se referă Arhimede foloseşte la măsurarea unor cantităţi ca lungimea, aria ori volumul obiectelor spaţiale prin compararea lor cu alte obiecte ale căror măsuri sunt cunoscute. Compararea se face şi plasând cele două
obiecte la capetele unei pârghii în echilibru: măsura obiectelor va fi invers proporţională cu lungimea braţelor pârghiei.
Figura 1.5 reprezintă un exhibit, expus la Muzeul Ştiinţelor din Tren to cu ocazia unei expoziţii chiar despre Arhimede, în 2017, care dă o idee despre această metodă, egalând aria necunoscută a unui sector de parabolă cu aceea, binecunoscută, a unui triunghi.
Celebra zicere care i se atribuie ,,,Daţi-mi un punct de sprijin şi am să răstorn lumea" are cu siguranţă o bază în acest tratat.
SPAŢIUL, O PROBLEMĂ FILOZOFICĂ
23
Vom vedea mai în detaliu în capitolul 3 cum a utilizat Ar- ""
himede această metodă ca să calculeze volumul şi suprafaţa sferei, rezultat pe care îl considera drept cel mai important dintre toate cele obţinute de el.
Arhimede susţine că metoda sa nu fumizează o demonstra
ţie efectivă, ci doar o idee despre cum ar trebui să arate rezultatul. O demonstraţie concluzivă- geometrică, spune el-obţine cu metoda logică, deductivă a lui Euclid. Mai precis, se referă
la metoda exaustiei a lui Eudoxos, care apare în Elemente, subliniind că Eudoxos perfecţionează cu logica demonstraţiile obţinute de Democrit cu metode de tip mecanic.
Dar de ce introduce Arhimede balanţa cu braţe egale în raţionamentul matematic?
În splendidele sale Lecţii americane, Italo Calvina deschide capitolul Exactitatea povestind că
La vechii egipteni, precizia era simbolizată printr-un fulg care folosea drept greutate pe talerul balanţei cu care se cântăresc sufletele. Acel fulg uşor purta numele de Maat, zeiţa balanţei. Hieroglifa lui Maat mai indica şi unitatea de măsură a lungimii unei cărămizi, adică 33 de centimetri, şi tonul de bază al flautului.*
Toate acestea le-a aflat, spune el, ascultând o conferinţă a lui Giorgio de Santillana.
Arhimede, care, din Siracuza, întreţinea o corespondenţă asiduă cu învăţaţii bibliotecii din Alexandria Egiptului, era cu siguranţă familiarizat cu cultura egipteană. În particular, cunoştea hieroglifa cu unităţile de măsură, cultul exactităţii şi felul cum era folosit pentru a cântări sufletul cu o balanţă comparându-l cu un fulg. De ce nu ne-am închipui că i se părea natural să extindă
această tehnică de la ceva impalpabil, cume sufletul, la ceva mult mai concret, cum sunt segmentul de parabolă şi măsurile sferei?
* Lecţii americane, trad. Oana-Boşca Mălin, Ed. Humanitas, Bucureşti, 2019. (N. tr.)
24
FORMA LUCRURILOR
GALILEI, DESCARTES ŞI FERMAT, DEPĂŞIREA CLASICISMULUI Cum raţionează mintea noastră, în matematică mai ales? Întrebarea a primit multe răspunsuri care au influenţat ideile oamenilor în cele mai diferite domenii. Matematicianul francez Rene Descartes îşi prefaţează marea operă, La Geometrie ( Geometria), cu un text intitulat Discours sur la methode (Discurs despre metodă).
