Chiar în prima propoziţie a Elementelor, de exemplu, în care construieşte un triunghi echilateral de latură dată, Euclid presupune că două cercuri care au fiecare centrul pe circumferinţa celuilalt se intersectează în mod necesar. Privind figura 1.3, ni se pare că e, într-adevăr, evident.
Abia în secolul XIX se observă că acest lucru nu derivă din ipotezele iniţiale şi că, în consecinţă, ar trebui adăugat acestora.
Ceea ce îl conduce pe matematicianul german David Hilbert, la sfârşitul secolului XIX, să întreprindă o revizuire completă
a geometriei euclidiene, întemeind-o nu pe axiome derivate din experienţă, ci pe axiome mai abstracte, asemenea acelora care descriu numerele reale. E exact epoca în care se pune la punct o teorie axiomatică a acestor numere care conţin, pe lângă numerele raţionale, şi pe cele iraţionale, adică numerele care nu se pot exprima sub forma p I q, cu p şi q numere întregi.
În această teorie, numerele reale sunt o mulţime completă, adică fără goluri, capabile să reprezinte lungimea oricărui segment şi punctele de intersecţie a două cercuri. Reconstrucţia lui Hilbert rămâne totuşi în interiorul metodei trasate de Platon şi Euclid, declarând întâi (noile) ipoteze, iar apoi raţionând folosindu-le pe acestea, prin mecanisme logice de cauzalitate.
O altă presupunere faimoasă pe care Euclid nu a inclus-o printre ipoteze e aceea că, dată o dreaptă şi un punct nesituat pe SPAŢIUL, O PROBLEMĂ FILOZOFICĂ
19
ea, se poate construi o dreaptă
care trece prin acel punct şi e
paralelă cu dreapta de plecare.
În Propoziţia 31 din Cartea I a
Elementelor, Euclid arată cum se construieşte efectiv această
dreaptă cu rigla şi compasul: el
furnizează deci o dovadă experi-
Figura 1.4
mentală, bazată pe instrumente de
folosinţă comună. Dar trebuie observat că nu derivă acest fapt în mod logic din ipotezele precedente.
Figura 1.4 arată cum se construieşte paralela printr-un punct exterior folosind rigla şi compasul.
Euclid introduce totuşi un postulat de acest tip: e faimosul Postulat al V-lea care ne asigură că această paralelă e unică.
Foarte mulţi, de-a lungul timpului, au crezut că acest postulat e inutil, deoarece ar putea fi dedus din cele dinainte.
Şi în acest caz, abia în secolul XIX s-a înţeles ce nu mergea şi cum putea fi reparat. În particular, s-a descoperit că geometria descrisă de Euclid în Elemente nu e unica posibilă. Există o geometrie, numită sferică, cu un sistem de axiome şi definiţii aidoma celor ale lui Euclid, dar în care Propoziţia 31 e falsă-altfel spus, în această geometrie nu există paralele. În plus, dacă Postulatul al V-lea e omis, ceea ce rămâne e în continuare un sistem coerent care realizează o nouă geometrie, zisă hiperbolică, în care prin orice
punct exterior unei drepte trec infinit de multe paralele la acea dreaptă.
Vom vorbi despre această geometrie în capitolul 3.
Lectura Elemente/ore o experienţă plăcută şi chiar electrizantă
uneori; dar sobrietatea şi simplitatea spre care tind cei ce studiază
geometria nu duc la o proză solemnă ori exaltată. Printre altele, nu găsim niciodată explicaţii despre geneza rezultatelor obţinute, despre ce anume l-a inspirat pe autor. Întrebările privind felul în care apar teoremele matematice, cele de geometrie în particular, cum se ajunge la formularea lor şi apoi la demonstraţii, întrebările acestea rămân în mare măsură fără răspuns în Elemente.
20
FORMA LUCRURILOR
Sunt întrebări care apar recurent în discuţiile dintre matematicieni, în corespondenţa sau în autobiografiile lor, printre care semnalez recenta Teorema vie * a lui Cedric Villani, medaliat Fields în 2010 (pentru cine nu ştie, Medalia Fields e un premiu care se acordă unor matematicieni odată la patru ani, cu ocazia congresului plenar al Uniunii Matematice Interna
ţionale; destinatarii medaliei, cel puţin doi şi maximum patru, sunt matematicieni de cel mult 40 de ani care s-au distins prin rezultate ştiinţifice excepţionale şi prin deschiderea pe care o pot da cercetărilor viitoare; e considerată cea mai importantă
recunoaştere pe care o poate primi un matematician). Azi, unor asemenea întrebări le caută răspunsul şi oamenii de ştiinţă
care se ocupă de mintea umană, de cogniţie; uneori, ele devin pretextul unor momente emoţionante din filme de succes, ca Proof (Demonstraţia) sau Omul care a văzut infinitul, sau mai recentele Hidden figures ( Cifre ascunse) şi Gifted (Înzestrată).
Un mare matematician al Greciei antice, siracuzanul Arhimede, atacă mai direct problema. Alături de Leonardo, Galilei, Einstein, el e una dintre figurile simbol ale geniului uman; un om care a pendulat continuu între nevoia de cunoaştere şi necesitatea unor soluţii tehnologice pentru numeroase probleme concrete. Personalitate multilaterală, matematician şi geometru subtil, dar şi inginer şi consilier politic al tiranului din Siracuza. Sfârşitul său tragic- a fost asasinat de soldaţii lui Marcellus după cucerirea oraşului - e o reprezentare a ambivalenţei umane între fertila capacitate inovativă şi pornirea de a distruge tot ce-i diferit, tot ce iese din tipare.
E absolut natural ca, în faţa unui personaj de calibrul lui Arhimede, cu atât de variate preocupări ştiinţifice, să ne întrebăm cwn şi de ce poate mintea să ajungă la asemenea descoperiri.
Pătrunzător, Plutarh ni-l descrie nu doar preamărindu-i virtuţile, ci şi întrebându-se implicit cum a putut fi atât de creativ:
* Ed. Humanitas, Bucureşti, 2014. (N. tr.)
SPAŢIUL, O PROBLEMĂ FILOZOFICĂ
