o scurtătură faţă de metoda mecanică şi a exhaustiei a lui Arhimede; Huygens scrie: Matematicienii nu vor avea niciodată timp să citească toate descoperirile geometriei, care se adună continuu, zi după
zi, şi par să ajungă la o cantitate enormă în această eră ştiinţifică, dacă ele vor continua să fie prezentate în formele riguroase ale celor vechi.
Curând, lumea înţelege că folosind calculus se pot demonstra rezultate noi şi surprinzătoare. Se dovedeşte, de exemplu, deosebit de potrivit pentru studiul tangentelor şi al curburii curbelor sau suprafeţelor, concepte naturale şi intuitive care, mulţumită acestei metode noi, vor juca un rol din ce în ce mai important în geometrie. Permite şi atacarea chestiunilor care azi poartă numele de probleme variaţionale sau de minim; de exemplu, calcularea drumului cel mai scurt între două puncte de pe o suprafaţă, drum numit geodezic, sau a drumului pe care-l parcurge în timp minim un mobil greu supus unor forţe externe, aşa-numita traiectorie brahistocronă.
Pentru un cititor curios şi curajos, e o experienţă interesantă să răsfoiască unele cărţi ale lui Newton disponibile în ediţia digitală a Universităţii Cambridge: https://cudl.lib. cam.
ac.uk/collections/newton/. Va descoperi că ingenioasa construcţie teoretică a noilor instrumente de calcul se sprijină în mare parte pe construcţii de geometrie euclidiană, nu neapărat elementare, şi că inventarea analizei matematice se bazează pe extraordinara pricepere cu care Newton folosea geometria lui Euclid.
Abordarea lui Leibniz e mai abstractă, vizând nu doar găsirea soluţiilor unor probleme de geometrie, ci şi a unei „metode generale cu care toate adevărurile raţionale să fie reduse la un calcul, 1 ... 1 qua facto calculemos". Regăsim aici utopia lui Descartes, acea mathesis universalis, ideea că orice dispută raţională poate fi rezolvată printr-un raţionament matematic. Unii văd aici germenii viitoarei teorii a informaţiei, sau ai informaticii, SPAŢIUL, O PROBLEMĂ FILOZOFICĂ
31
prima ipostază a unei maşini Turing. O utopie care se va con- ""
frunta cu teoremele de incompletitudine şi indecidabilitate ale lui Gădel.
Abia la finele secolului XIX se ajunge la o bază axiomatică
satisfăcător de clară şi de coerentă pentru calculus, odată cu formalizarea matematică a numerelor reale, despre care am pomenit mai sus, şi cu conceptul de limită. Astfel se încheie lungul proces iniţiat de Arhimede: cu ajutorul analizei, multe rezultate de geometrie au azi demonstraţii inatacabile, pentru că sunt necontradictorii din punct de vedere logic. În zilele noastre, volumul sferei şi, în general, ,,măsurile" obiectelor din spaţiu se calculează cu integrale de mai multe variabile.
În Analysis situs, Leibniz introduce şi un mod nou de a gândi geometria, unul care, în urma unui lung şi profund proces de maturizare, stă acum la baza teoriei geometrice contemporane.
El chestionează natura ontologică şi epistemologică a geometriei şi propune s-o considerăm nu drept o teorie a figurilor, ci drept o ştiinţă a spaţiului. Leibniz deschide o perspectivă nouă
în care obiectele geometriei nu sunt doar figurile sau cantită
ţile continue, ca în tradiţia greacă, ci şi spaţiul însuşi.
Mai precis, Leibniz consideră spaţiul drept o structură şi îl descrie, cu o definiţie faimoasă, ca pe o ordine de poziţii, unde prin poziţie se înţelege o relaţie (geometrică) între obiecte.
Definiţia aceasta e folosită în disputa lui cu Newton, care considera spaţiul ca pe ceva absolut, nestructurat.
Sunt multe figurile din spaţiu pe care le putem considera: dreptele, de exemplu, cercurile, dar şi punctele - mai ales punctele. În abordarea aceasta abstractă, punctul nu e altceva decât un obiect conceput ca fiind corelat cu altele printr-o relaţie de poziţie, relaţie care se poate caracteriza, de exemplu, printr-o distanţă, caz în care două mulţimi de puncte au aceeaşi situare reciprocă dacă şi numai dacă au aceeaşi distanţă
între ele. Această definiţie a spaţiului ca ordine a unor situări determinate de distanţă e probabil prima definiţie naivă a conceptului modem de spaţiu metric sau de structură metrică, 32
FORMA LUCRURILOR
concept care va fi introdus în manieră sistematică abia de Riemann în secolul XIX.
Textul originar al lui Leibniz, ca şi multe comentarii asupra lui, se găseşte în recenta carte a lui Vincenzo de Risi, Leibniz despre postulatul paralelelor şi fundamentele geometriei*, în care observă cum consideraţiile acestea epistemologice novatoare n-au fost, de fapt, aplicate de filozoful matematician în practica sa geometrică, ceea ce poate însemna că nu le înţelesese până la capăt.
În particular, într-una dintre încercările de a demonstra postulatul paralelelor, Leibniz observă că, potrivit principiului raţiunii suficiente, neexistând nici un argument valid pentru a presupune că spaţiul n-ar fi uniform, spaţiul trebuie în mod necesar să fie uniform. El presupune deci că nu există în spaţiu ordine particulare de situări, proprietăţi metrice particulare. În limbajul dezvoltat ulterior de Riemann, descris aici în capitolul 4, Leibniz presupune că spaţiul e plat, adică lipsit de curbură.
Am putea spune că Leibniz întrezăreşte posibilitatea de a structura geometric spaţiul, dar că apoi nu găseşte argumente suficiente pentru a o face. Argumentele le va impune Riemann, observând că, probabil, ele sunt determinate de forţele care acţionează în spaţiu; în teoria relativităţii generale, Einstein va presupune că, în prezenţa unei mase, spaţiul se curbează (vezi capitolul 4).
GEOMETRIA DEVINE MODERNĂ
Observaţiile filozofice ale lui Leibniz au fost dezvoltate din punct de vedere matematic de Gauss în teoria suprafeţelor, pe care o voi discuta în capitolul 3, iar apoi în opera fundamentală
a lui Riemann (despre care voi discuta în capitolul 4). Suntem
* V. de Risi, Leibniz on the Parai/el Postulate and the Foundations of Geometry, Basel/Boston, Birkhauser 2015. (N. tr.) SPAŢIUL, O PROBLEMĂ FILOZOFICĂ
33
în secolul XIX şi asistăm la un progres net în toate zonele cu-,•·
noaşterii umane: spiritul şi modul de abordare clasice sunt depăşite, se afirmă acum o viziune modernă, încă prezentă în multe discipline.
Ne putem face o idee despre revoluţia survenită comparând cuvintele folosite de Immanuel Kant în Critica raţiunii purecu acelea ale lui Bernhard Riemann din disertaţia Ipotezele care stau la baza geometriei.
Kant scrie:
Spaţiul nu este un concept empiric care să fi fost scos din experienţe externe 1 ... 1 trebuie ca reprezentarea de spaţiu să
fie pusă ca fundament. Prin urmare, reprezentarea de spa
ţiu nu poate fi scoasă prin experienţă din raporturile fenomenului extern.*
