Iar câţiva ani mai târziu, Riemann:
Se pune, prin urmare, problema de a căuta datele cele mai simple din care să se poată deduce relaţiile dimensionale ale spaţiului [ ... sistemul] cel mai important pentru scopul urmărit de noi este acela pe care s-a bazat Euclid. Faptele acestea nu sunt necesare, ci au doar certitudine empirică, adică sunt ipoteze.**
Articolul lui Riemann e considerat una dintre cele mai importante opere matematice, comparabil ca anvergură cu lucrările contemporane ale lui Marx în domeniul social şi economic sau cu acelea ale lui Darwin în biologie şi în ştiinţa vieţii. În timp ce progresele acestor ultime discipline au devenit repede monedă curentă în multe sectoare, acelea ale teoriilor matematice, inclusiv ale geometriei, s-au răspândit şi au fost aplicate aproape exclusiv în aria ştiinţelor mai pure, fără a intra în bagajul
* I. Kant, Critica raţiunii pure, trad. E. Bagdasar şi E. Moisuc, Ed.
Univers enciclopedic, 2009. (N. tr.)
** B. Riemann, Ipotezele care stau la baza geometriei, trad. E. Gergely, Ed. Tehnică, 1 963. (N. tr.)
34
FORMA LUCRURILOR
cultural comun. Cu siguranţă, deplasarea interesului de la figurile din spaţiul tridimensional obişnuit spre natura ontologică
a spaţiului însuşi, prilejuind, în particular, conceperea unor structuri ontologice diferite, le permite cercetătorilor pregătiţi pentru un asemenea demers să depăşească barierele spaţiale ale propriilor discipline, dar, în termenii folosiţi de Platon pentru Thales, nu ajută la cercetările despre „cele de dinainte şi din dreptul picioarelor".
Sunt multe teoriile noi care se dezvoltă şi se afirmă la finele secolului XIX într-o Europă care şi-a încheiat formarea statelor naţionale şi începe să se creeze ca entitate supranaţională. E
posibil ca tocmai aceste noi teorii şi ideologiile lor să stea la baza procesului de unificare europeană - încă nefinalizat şi încă pus în discuţie. Geometria îşi aduce şi ea contribuţia: îmi face plăcere să semnalez în acest context trei matematicieni legaţi, fireşte, de naţiunile de care aparţin, dar participând, în acelaşi timp, la crearea unei culturi comune, fie prin intermediul schimburilor ştiinţifice, fie prin controverse neîmpăcate: italianul Eugenio Beltrami, germanul Felix Klein şi francezul Henri Poincare.
La originea polemicii se află lucrările lui Beltrami, profesor la Pavia şi, în 1899, chiar senator al nou-constituitului regat al Italiei. La Pisa, apoi şi la Gottingen, îl întâlneşte pe Riemann şi, împreună cu colegul său, Felice Casoratti, începe să-i studieze atent lucrările. Cei doi devin conştienţi de uriaşa semnificaţie inovatoare a operei lui Riemann, dar şi de complexitatea ei ascunsă. Beltrami scrie apoi un Eseu despre interpretarea geometriei neeuclidiene* în a cărui introducere afirmă că
în vremea din urmă, publicul matematic a început să se ocupe cu unele concepte noi care, dacă se vor impune, par destinate să schimbe în profunzime întregul ţesut al geometriei clasice.
* E. Beltrami, Saggio di interpretazione de/la geometria non-euclidea, în
«Giomale di Matematiche», voi. VI, 1868, pp. 284--322. (N. tr.) SPAŢIUL, O PROBLEMĂ FILOZOFICĂ
35
În eseul său, Beltrami pleacă de la câteva rânduri din disertaţia ""
lui Riemann pe care le întregeşte dându-le o interpretare ce-i permite să introducă primul model valid al geometriei hiperbolice, o geometrie neeuclidiană (în care, deci, nu e valabil postulatul paralelelor). Voi analiza construcţia lui mai amănunţit în capitolul 4.
Beltrami merge de mai multe ori la Gottingen, chiar şi după
moartea lui Riemann, şi discută cu Felix Klein. Acesta din urmă propune, într-o bine-cunoscută lucrare, construcţia unui model al geometriei hiperbolice identic cu cel care se află într-o secţiune a articolului lui Beltrami- scris în italiană- fără
măcar să-l citeze.
În acelaşi timp, Poincare construieşte un model hiperbolic diferit de al lui Klein, dar şi acesta identic cu unul dintre modelele care apar în eseul lui Beltrami.
Ignorându-l complet pe Beltrami şi articolul său, Poincare şi Klein pornesc o querelle pe marginea paternităţii acestei descoperiri, dispută în urma căreia Klein, victimă a unei epuizări nervoase, se retrage din matematica activă.
Rolul lui Beltrami ca adevărat părinte al acestor modele a fost recunoscut abia recent de matematicianul american John Milnor, printre altele şi laureat al Medaliei Fields în 1962.
Se poate aşadar spune că descoperirea geometriilor neeuclidiene e pe de-a-ntregul operă europeană- în sensul pe care-l dăm azi cuvântului Europa - chiar dacă atribuirile nu sunt de tot limpezi. În capitolul 4 voi expune câteva dintre ideile lui Klein şi Poincare, doi matematicieni foarte prolifici ale căror opere au determinat progresul geometriei până în zilele noastre, cu un impact puternic asupra culturii contemporane.
În 1902, Poincare scrie un comentariu celebru prilejuit de reflecţiile lui pe marginea noutăţilor introduse de Riemann şi a diferitelor teorii geometrice care s-ar putea naşte din ele: ,,o geometrie nu poate fi mai adevărată decât alta, poate fi doar 36
FORMA LUCRURILOR
mai convingătoare"*. În aceste cuvinte se împiedică Benedetto Croce care, pricepând foarte puţin din matematică, declară
ritos că:
ştiinţele naturale şi disciplinele matematice au cedat de bunăvoie filozofiei privilegiul adevărului, ele mărturisind resemnate, de nu chiar surâzătoare, că operează cu concepte comode, de utilitate practică, concepte care nu au nici de-a face cu reflecţia asupra adevărului**·
E bine ştiut că gândirea şi activitatea lui Croce au împiedicat dezvoltarea şi predarea culturii ştiinţifice în Italia. În particular, incapacitatea lui de a înţelege matematica şi geometria incapacitate convertită în antipatie- l-a făcut să se războiască
frecvent cu matematicianul şi filozoful Federigo Enriques.
Acesta din urmă, preşedinte al Societăţii Italiene de Filozofie, a organizat în 191 I la Bologna al IV-iea Congres internaţional de filozofie la care a invitat, printre alţii, filozofi de talia lui Bergson, Einstein, Poincare. Croce, aflat şi el printre invitaţi, l-a criticat feroce pe Enriques pentru a fi acordat prea mult spaţiu ştiinţei. Polemica a continuat timp de câţiva ani, alimentată şi de discipolul lui Croce, filozoful Giovanni Gentile, ministru al Instrucţiunii Publice, şi a dus la înfrângerea (temporară) a celor interesaţi de ideile moderne ale lui Enriques despre reforma şcolii şi a universităţii în favoarea bine-cunoscutei reforme Gentili.
În încheierea acestui capitol introductiv, semnalez cititorului articolele despre conceptele de curbă şi de suprafaţă din Enciclopedia Italiana. Au fost scrise în mare parte de Enriques şi reprezintă, după mine, un exemplu minunat de popularizare a ştiinţei la un nivel înalt. Cât despre ideile care stau la baza
* H. Poincare, Ştiinţă ?i ipoteză, trad. Constantin Popescu-Ulmu, Ed.
Ştiinţifică şi enciclopedică, 1 986. (N. tr.)
