Calvino sugerează aici că, deşi nu se mai poate reduce, punctul conţine informaţii care sunt fructul unei istorii viitoare, al unor
* I. Cal vino, Totul într-un punct, în Cosmicomicării, trad. de Sanda Şora, Ed. Univers, 1970. (N. tr.)
CURBE
41
concepte care se vor dezvolta în viitor şi de care va trebui să
ţinem seama în procesul cunoaşterii. Calvino pune în punct cuvinte precum socializare, mişcare, lumină, căldură ... ba chiar şi tagliatelle!
O mare parte din geometria modernă se ocupă de puncte sau, mai bine, de puncte grase (fat points) sau scheme zero-dimensionale, adică puncte care încorporează caracteristici şi calităţi ale unor obiecte mai complexe. Deocamdată, să considerăm punctul ca în definiţia lui Euclid, ceva de la care se pleacă, dar despre care altceva nu putem spune. Mai târziu, studiind obiecte geometrice mai sofisticate, s-ar putea să fie util să vorbim despre natura punctelor lor, în particular a unora mai semnificative.
D I N NOU ÎN GRECIA, ORIG I N EA LUCRURILOR
Curbele sunt un obiect de studiu din geometrie foarte vechi şi central în întreaga istorie a gândirii matematice. În limbaj comun, curbă e o linie care nu e dreaptă; în evoluţia limbajului matematic, care tinde mereu să elimine excepţiile imprimând noţiunea de continuitate, cuvântul curbă a devenit sinonim cu linie, iar dreapta e un caz particular de linie.
În Grecia antică, mai ales în şcoala lui Pitagora din Metapont (fondată în 540 î.Cr.), se considera că o curbă e constituită
din puncte-monade, corpusculi elementari cu întindere foarte mică; cunoaşterea era empirică pe vremea aceea, încă nu fusese „raţionalizată" sau abstractizată.
În acelaşi timp, aproape de Metapont, la şcoala din Elea (acum în provincia Napoli), Parmenide şi Zenon studiau concepte geometrice dintr-un punct de vedere tot mai apropiat de ideal, susţinând că punctul nu are întindere, că linia nu se obţine punând laolaltă puncte şi e doar lungime lipsită de lărgime, că suprafaţa nu are grosime şi aşa mai departe.
După cum ne povestesc manualele de filozofie, direcţia raţionalistă şi abstractă a fost criticată şi atacată violent de 42
FORMA LUCRURILOR
sofişti - ca Protagoras din Abdera, de exemplu. Acesta susţinea că liniile adevărate au o anume lărgime şi diferă de conceptul matematicienilor. Cercul trebuie deci să aibă în comun cu tangenta nu doar un punct, ci un întreg mic segment, aşa cum reiese în mod empiric observând o roată care lasă pe stradă o urmă de forma unui mic segment.
Aristotel îşi însuşeşte adesea observaţiile critice ale sofiştilor; se ajunge apoi la poziţii extreme ca aceea a lui Sextus Empiricus, din curentul scepticilor, care scrie chiar o carte intitulată Adversus geometras (Împotriva geometrilor).
Între timp, filozofii raţionalişti, precum Democrit şi Platon, se inspiră mereu mai mult din matematică şi geometrie, susţinând realitatea inteligibilelor sau a ideilor; cuvântul grecesc t&a (idee) însemna la origine „schemă sau figură matematică".
Dezvoltarea, alături de viziunea empirică, a unei viziuni mai raţionale sau ideale are loc în acelaşi timp cu o altă mare schimbare culturală. Cunoaşterea, discutată şi transmisă pe cale orală (epos), începe să fie notată în scris (logos), putându-se deci conserva şi transmite cu ajutorul papirusurilor. Alăturarea dintre logos şi epos, pe care ne place s-o considerăm începută
odată cu Homer, îşi găseşte o perfectă împlinire la Platon, Arhimede, Aristotel şi alţii.
Asemenea Metodei lui Arhimede sau Conicelor lui Apollonius, Elementele lui Euclid sunt primele exemple de formalizare scrisă a unei metode care constă în a lua anumite concepte fundamentale, înscrise cumva în mintea noastră, poate prin intermediul experienţei, şi a le formaliza în manieră abstractă
şi a priori prin mijlocirea câtorva, puţine, definiţii şi postulate clare şi necontradictorii. A doua definiţie a Elementelor e cea pentru curbă, sau linie.
Definiţia 2. Linia e lungime lipsită de lărgime.
Puţin mai departe, găsim o altă definiţie a liniei: Definiţia 5. Suprafaţa e ceea ce are lungime şi lărgime.
Definiţia 6. Extremităţile unei suprafeţe sunt linii.
CURBE
43
Să observăm aici o dihotomie prezentă adesea în geometrie: linia poate fi descrisă în sine sau ca parte a unui alt obiect.
Dintre curbe, Euclid trece repede la aprofundarea conceptului de (linie) dreaptă, cu o definiţie şi două postulate: Definiţia 4. Linia dreaptă e aceea care stă la fel faţă de toate punctele ei.
Postulatul 1. A duce o dreaptă dintr-un punct în altul.
Postulatul 2. A prelungi fără soluţie de continuitate o dreaptă mărginită într-o dreaptă.
Definiţiile 2 şi 4, dimpreună cu postulatele 1 şi 2, definesc în mod precis dreapta. Punctul de vedere al lui Euclid-acelaşi cu al geometriei contemporane, de fapt - poate fi rezumat după cum urmează: fiecare dintre noi are ideea lui despre ce e linia dreaptă, dar pentru a discuta şi pentru a dezvolta cunoaşterea comună, formalizăm patru caracteristici pe care dreapta trebuie să le aibă
şi asupra lor ne punem de acord rară nici un fel de ambiguitate.
După mai bine de două mii de ani, abordăm exact la fel geometria: un manual pentru şcolile primare scris de colegul Herbert Clemens împreună cu fiul lui, Geometry for the classroom, se deschide cu definiţia dreptei ca obiect caracterizat de următoarele proprietăţi:
1. Se extinde la infinit în două direcţii (postulatul 1).
2. Date două puncte distincte, există o dreaptă şi numai una singură prin cele două puncte (postulatul 2).
3. Date două puncte pe o dreaptă, drumul cel mai scurt pentru a merge de la un punct la celălalt e dreapta însăşi (dreapta e o geodezică) (definiţia 4).
4. Dacă scoatem un punct de pe o dreaptă, rămân două părţi separate (definiţia 2).
