patru triunghiuri, părţile albe care rămân trebuie să aibă aceeaşi arie. Astfel, aria pătratului alb din desenul din stânga, care e pătratul construit pe ipotenuză, e egală cu suma ariilor celor două pătrate albe din desenul din dreapta, care sunt exact pătratele construite pe catete.
Cred că e bine să observăm că demonstraţia se sprijină pe câteva presupuneri geometrice, în particular pe definiţia pătratului şi pe posibilitatea de a-1 construi. Un pătrate un patrulater cu laturi egale şi cu patru unghiuri interne drepte. Existenţa şi posibilitatea construirii pătratului nu sunt deloc evidente; dimpotrivă, se poate demonstra că sunt echivalente cu Postulatul 5
al lui Euclid, cel despre paralele. Faptul a fost înţeles de Giovanni Girolamo Saccheri (167 7 -17 33). Altfel spus, Teorema lui Pitagora e un rezultat care se poate demonstra dacă sunt valabile cele patru proprietăţi ale dreptei şi Postulatul 5, adică dacă
ne situăm în ceea ce azi numim geometria euclidiană. Vom vedea mai încolo că teorema e falsă în geometriile neeuclidiene.
O CURBĂ DUPĂ ALTA
În Elemente sunt prezentate foarte multe curbe, începând cu cercul care e descris astfel:
Definiţia 15. Cercul e o figură plană formată dintr-o singură
linie, astfel că toate dreptele care o taie, trasate fiind dintr-un singur punct dintre cele din interiorul figurii, sunt egale.
Apollonius din Perga consacră un întreg tratat curbelor care se obţin ca intersecţii ale unui con cu un plan, motiv pentru care le numeşte (secţiuni) conice şi le distinge cu numele de elipsă, parabolă sau hiperbolă, în funcţie de poziţia planului care taie conul, ca în figura 2.6.
În Grecia antică erau studiate curbe speciale, folosite la rezolvarea unor probleme matematice. Conicele au fost studiate CURBE
49
de Menechmos (380-320 î.Cr.) ca să ""
rezolve problema duplicării cubului,
adică pentru a găsi latura unui cub cu
volum de două ori mai mare decât un
cub dat. A propus o soluţie simplă, ca
intersecţie a unei parabole cu o hiperbolă. Cu geometria analitică, pe care o s-o introducem curând, se vede uşor
că ifi. se obţine ca intersecţie dintre parabolay = l/2 x2 şihiperbola xy = I.
Se povesteşte că Menechmos, căruia Alexandru cel Mare i-ar fi cerut o metodă uşoară de a înţelege geometria,
ar fi răspuns: ,,Pentru a călători dintr-un loc într-altul există drumuri pentru rege şi drumuri pentru popor, dar în geometrie nu există decât un singur drum pentru toţi."
Duplicarea cubului şi trisecţiunea unghiului sunt două
dintre problemele faimoase de la Delphi, pentru care matematicianul Diocles (240-180 î.Cr.) construieşte curba cisoidă, iar Nicomede construieşte concoida. Pentru cuadratura cercului, Hippias ( 443-393 î.Cr.) şi Dinostratus (390-320 î.Cr.) studiază
cuadra tricea, iar Arhimede (2 8 7 -212 î.Cr.) spirala. Figurile 2.7
şi 2.8 au fost preluate de pe pagina Universităţii St. Andrew: http:/ /www history .mcs.st-and.ac. uk/Curves/Curves.h tml.
.n
Figura 2.7
Figura 2.8
50
FORMA LUCRURILOR
CUM SE CONSTRUIEŞTE O CURBĂ
Definiţia şi studiul obiectelor geometrice abstracte ridică problema existenţei lor reale; am amintit deja poziţia critică a şcolii sofiste.
Să aprofundăm problema întrebându-ne, de exemplu, dacă
