Timp de zeci de ani, mulţi ingineri au încercat să-şi dea seama cum se pot găsi curba sau curbele care trec prin nouă puncte date şi mecanismul care să o/le genereze. La sfârşitul secolului trecut, General Motors finanţa asemenea cercetări pentru a produce ştergătoare de parbriz optime; în 1992, Andrew J. Sommese şi alţii au demonstrat că date fiind nouă puncte (în poziţie generică), există cel mult 1 442 de posibilităţi; mai aproape de noi, în 2010, o nouă cercetare a redus numărul posibilităţilor la 64!
Putem deci să fim de acord că se pot construi cu rigla şi compasul o dreaptă care trece prin două puncte şi un cerc căruia i se precizează raza şi centrul. Matematicienii din Grecia
* Proceedings of the London Mathematical Society, vol. s1-7, nr. I, 1875.
(N. tr.)
CURBE
53
Figura 2.11
antică încercau să folosească aceste două instrumente pentru rezolvarea altor probleme; mai precis, încercau să construiască
cu rigla şi compasul puncte şi figuri plane care să fie soluţii ale unor probleme geometrice. Cu această metodă bisectau unghiul (adică găseau un unghi cu deschiderea egală cu jumătatea unuia dat), construiau triunghiuri echilaterale, găseau rădăcina pătrată a unei lungimi şi câte altele. Sunt exerciţii pe care învăţăm să le rezolvăm în şcoală (figura 2.11 prezintă trei exemple).
De neînţeles la vremea aceea, construcţiile cu rigla şi compasul nu reuşeau să rezolve anumite probleme un pic mai generale, faimoasele probleme de la Delphi. Printre ele, trisec
ţiunea unghiului, construcţia rădăcinii cubice a unui număr, construcţia unui poligon regulat cu şapte laturi şi cuadratura cercului (altfel spus, construcţia unui poligon de arie n). Se povesteşte că problema construcţiei rădăcinii cubice a lui 2 ar fi apărut în urma cererii oracolului lui Apollo din templul din Delphi de a construi un altar de formă cubică, dublu faţă de cel existent.
54
FORMA LUCRURILOR
Sunt probleme care nu se pot rezolva cu rigla şi compasul, dar asta rezultă dintr-o teorie algebrică foarte profundă, creată abia două mii de ani mai târziu de Evariste Galois (1811-1832), care a legat căutarea rădăcinilor polinoamelor de teoria grupurilor.
Puţin înainte de Galois, matematicianul italian Lorenzo Mascheroni (17 50-1800), în cartea La geometria de! compasso (Geometria compasuluO, arătase că toate construcţiile cu rigla şi compasul se pot face doar cu compasul. Fervent admirator al lui Napoleon, Mascheroni era coleg, la Universitatea din Pavia, cu Spallanzani şi Volta. Teorema care afirmă că „baricentrele triunghiurilor echilaterale construite pe laturile unui triunghi oarecare, în exteriorul acestuia, formează un triunghi echilateral" e azi atribuită lui Napoleon - deşi mulţi istorici sunt înclinaţi să creadă că
a fost, de fapt, demonstrată de Mascheroni sau de matematicianul franco-torinez Giuseppe Luigi Lagrangia (Lagrange).
DESCARTES ŞI GEOMETRIA
În secolul XVII, doi mari matematicieni francezi, Rene Descartes (1596-1650) şi Pierre de Fermat (1601-1665), au revoluţionat teoria studiului curbelor şi, în consecinţă, studiul geometriei.
Nu e uşor de stabilit paternitatea atâtor descoperiri şi a numeroaselor metode; de altfel, au fost chiar ei protagoniştii unei dispute feroce, descrise în multe cărţi de istoria matematicii.
Într-o foarte cunoscută scrisoare din 1619, trimisă colegului fizician, filozof şi medic olandez Isaal<: Beekman, Descartes scrie: astfel, nădăjduiesc să demonstrez că în cantitatea continuă, unele probleme se pot rezolva doar cu linii drepte şi circulare; altele nu se pot rezolva decât cu linii curbe, dar create printr-o singură mişcare şi de aceea pot fi trasate cu noile compasuri, pe care nu le socotesc mai puţin certe şi Geometrice decât cele comune cu care se trasează cercuri; în fine, altele nu se pot rezolva decât cu linii curbe generate CURBE
55
prin mişcări diverse nesubordonate una alteia, care desigur ""
sunt doar imaginare: precum binecunoscuta cuadratrice.
Şi nu cred că poate fi imaginat ceva care să nu poată fi rezolvat cu astfel de linii; nădăjduiesc doar să demonstrez care probleme se rezolvă printr-o metodă şi nu prin cealaltă: astfel, în Geometrie să nu mai rămână aproape nimic de descoperit. Desigur, este o întreprindere nesfârşită, nu pentru o singură persoană. Pe cât de incredibilă, pe atât de ambiţioasă; dar am zărit o oarece lumină în haosul întunecos al acestei ştiinţe, cu ajutorul căreia cred că pot fi eliminate întunecimile cele mai de nepătruns.*
Aşadar, pe urmele tradiţiei greceşti, Descartes vrea să rezolve probleme matematice folosindu-se de curbe şi împărţind problemele în trei clase. Prima e cea a problemelor rezolubile cu rigla şi compasul. A doua, cea mai interesantă, adună toate problemele care se pot rezolva cu ajutorul curbelor ce pot fi trasate printr-o singură mişcare, deci cu noile compasuri; numeşte aceste curbe admisibile sau geometrice. În a treia clasă, grupează problemele care nu sunt în primele două şi le numeşte curbe imaginare sau mecanice, printre care cuadratricea şi spirala.
Descartes consacră mult timp construirii efective a noilor compasuri; printre ele, trisectorul, care desenează o curbă care împarte un unghi în trei părţi egale (vezi figura 2.1 2).
Să începem prin a introduce ceea ce azi numim sistemul de referinţă (sau de axe) cartezian şi coordonatele carteziene. Dat un plan, considerăm în el o pereche de drepte r şi r' care se taie perpendicular într-un punct O. Oricărui punct P din plan îi asociem acum o pereche de numere (x,y), coordonatele sale carteziene în acest sistem de referinţă. Mai precis, x corespunde distanţei de la O la punctul de intersecţie al lui r cu dreapta prin P perpendiculară pe r, în timp ce y corespunde distanţei de la O la punctul de intersecţie al lui r cu dreapta prin P perpendiculară pe r'.
* R. Descartes, Corespondenţa completă, ediţie îngrijită de Vlad Alexandrescu, val. I, Ed. Polirom, 2014. (N. tr.) 56
FORMA LUCRURILOR
Rgura 2.12
Lumina pe care a văzut-o Descartes e ideea de a gândi ocurbă din plan ca pe o ecuaţie, astfel dând naştere ramurii dinmatematică pe care azi o numim geometrie analitică sau geometrie algebrică. Să citim fragmentul din Geometrie (Cartea a 2-a)în care introduce acest concept:
Aş putea arăta aici multe alte mijloace pentru a trasa şi aconcepe liniile curbe care ar fi de grade din ce în ce maicompuse, până la infinit; dar pentru a cuprinde la un loctoate curbele care sunt în natură şi pentru a le separa perând în anumite genuri, eu nu ştiu altceva mai bun decâtsă spun că toate punctele curbelor care pot fi numite geometrice [ ... J sunt cu necesitate într-o anumită o relaţie cutoate punctele unei linii drepte, relaţie care poate fi exprimată printr-o ecuaţie, aceeaşi pentru toate punctele.*
