În continuare, Descartes îşi precizează ideea propunând ca,odată fixat un sistem de referinţă, o curbă din plan să fie determinată de punctele ale căror coordonate carteziene (XJ') satisfaco ecuaţie/(x,y) = O, unde/(x,y) e o funcţie de variabilele x şi y.
* Descartes, Geometria, trad. Al. Giuculescu, Ed. Ştiinţifică, 1966. (N. tr.) CURBE
57
De exemplu, ecuaţia 3x - 2y + 6 = O descrie o dreaptă, în timp ce ecuaţia x2 + y2 - 1 = O descrie un cerc.
Funcţia f(x.y) e ecuaţia carteziană a curbei. Dacă funcţia e un polinom, curba e algebrică, iar gradul polinomului se numeşte gradul sau ordinul curbei.
Trebuie observat că atunci când Descartes vorbeşte despre funcţii, el subînţelege funcţii care se pot exprima ca polinoame; de altfel, curbele pe care, iniţial, le numise geometrice, adică
acelea care se pot construi cu noile compasuri, sunt de fapt curbe algebrice, după cum a demonstrat Kempe în teorema pe care am menţionat-o deja.
Nu toate funcţiile sunt polinomiale, gândiţi-vă, de exemplu, la funcţia exponenţială sau la funcţiile trigonometrice; toate aceste funcţii, zise şi transcendente, apar la câţiva ani după Descartes, odată cu lucrările lui Leibniz, Newton şi mulţi alţii care creează calculul diferenţial şi integral.
În acest paragraf şi în cel care urmează, vom considera doar curbe definite de ecuaţii polinomiale.
Uneori e posibil ca, după manipulări algebrice convenabile, din ecuaţia/(x.y) = O, să exprimăm una dintre variabile în func
ţie de cealaltă. De exemplu, din 3x-2y + 6 = O se obţine uşor x=x(y) = 2/3y + 2, dar şi y=y(x) = 3/2x + 3. În acest caz, spunem despre curbă că e descrisă ca grafic (al variabilei dependente în funcţie de cea care variază liber). Descrierea unei curbe ca grafic e foarte utilă, dar nu e posibilă decât în anumite condiţii de regularitate, studiate într-un rezultat celebru de matematicianul italian Ulisse Dini (1845-1918): curba e un grafic într-o vecinătate a punctelor sale nesingulare, pe care le vom defini curând.
Definiţia curbei ca loc geometric al zerourilor unei funcţii o aminteşte pe a vechilor greci: frontieră sau limită a unei suprafeţe.
Dacă, în schimb, gândim curba ca pe o mulţime de puncte sau monade, ori, echivalent, ca un punct în mişcare, curba se descrie ca fiind formată de acele puncte din planul cartezian ale căror coordonate (x(t),y(t)) sunt descrise de funcţii x(t) şi 58
FORMA LUCRURILOR
y(t) depinzând de un parametru continuu t. Acestea se numesc ecuaţiile parametrice ale curbei.
Ecuaţiile x(t) = 2t + 2, y(t) = 3t, de exemplu, sunt ecuaţiile parametrice ale dreptei pe care am descris-o mai înainte în forma carteziană j(x,y) = 3x - 2y + 6 = O. Ecuaţiile x(t) = sin(t), y(t) = cos(t) descriu, când variază parametrul t, cercul x 2 + y2 = I; să observăm că funcţiile acestea, zise trigonometrice, nu sunt polinomiale. Dar e posibil să găsim şi ecuaţii parametrice ale circumferinţei care se pot exprima prin (rapoarte de) polinoame, după cum vom vedea mai departe.
În Geometria, printre multe alte rezultate, Descartes demonstrează un fapt uimitor, anume că orice curbă de gradul al 2-lea e o conică (fiind însă atenţi să numim conice degenerate şi reuniunile de două drepte). Astfel, geometria greacă a conicelor e înglobată în această teorie mai generală, iar studiul conicelor se reduce pur şi simplu la studiul polinoamelor de gradul al 2-lea în două variabile.
Apoi, Descartes se avântă în studiul curbelor de ordin superior, reconsiderând multe exemple clasice prin prisma defini
ţiei sale, producând şi exemple noi. Printre acestea, Folium-ul (frunza), a cărei ecuaţie carteziană e x 3 + y = 3axy, în timp ce ecuaţiile parametrice sunt:
3at
3at2
x(t) = I +t3 ' y(t) = I +t3
Descartes a greşit desenul acestei curbe, convins fiind că se repetă identic în fiecare dintre cele patru cadrane; poate că din lipsă de experienţă cu numerele complexe. Primul care a desenat corect Folium-ul, ca în figura 2.13, a fost Christiaan Huygens, despre care vom vorbi imediat.
Folium-ul lui Descartes e o curbă de gradul 3, o cubică, şi se deosebeşte de cele de gradul I (dreptele) şi 2 (conicele) prin aceea că are un punct singular. Există multe moduri, evident echivalente, pentru a defini singularităţile; ca să ne păstrăm în limitele metodei lui Descartes, le vom defini folosind conceptul de dreaptă tangentă la o curbă. Să observăm că Folium-ul CURBE
59
nu poate fi descris ca grafic într-o ""
vecinătate a originii coordonatelor.
Pentru detalii despre Folium şi despre alte curbe introduse de Descartes şi de Fermat, sugerez din nou pagina web a Universităţii St.
Andrew, http://www-history. mcs.
st-and.ac.uk/Curves/Curves.html.
Considerarea curbelor ca loc
Rgura 2.13
geometric al zerourilor unei ecu-
aţii introduce folosirea algebrei
în studiul geometriei, clarificând şi rezolvând extrem de eficient şi riguros o mulţime de probleme; printre acestea, problema dreptelor tangente şi a punctelor singulare.
Maniera aceasta revoluţionară de a ataca geometria s-a impus rapid şi a ajuns azi la un nivel surprinzător de rafinament şi de abstractizare - vom reveni în capitolul 4.
