ele mai încolo. Foarte repede, ei descoperă cât de fascinant şi de complex e studiul acestei noi idei geometrice, cât de utilă e pentru dezvoltarea matematicii şi câte aplicaţii are în alte domenii. Treptat, prinde contur o teorie numită teoria singularităţilor sau teoria catastrofelor, pe la jumătatea secolului trecut, existau două mari şcoli care se confruntau în acest domeniu: şcoala franceză, condusă de Rene Thom, şi cea rusă, condusă
de Vladimir Arnold.
Primul obiectiv al acestor teorii e să înţeleagă bine singularităţile, adică să le clasifice. Clasificarea obiectelor de studiu e o activitate foarte atrăgătoare pentru specialiştii din orice domeniu ştiinţific - matematicienii nu fac excepţie.
Dar ce înţelegem aici prin clasificare? Înţelegem atribuirea de caracteristici numerice fiecărui punct singular şi împărţirea singularităţilor în clase definite de anumite valori numerice ale acestor caracteristici. O clasificare e completă dacă
reuşeşte să includă fiecare singularitate într-o clasă anume şi dacă permite descrierea exhaustivă a fiecărei clase.
Să considerăm singularităţile curbelor algebrice plane pe care tocmai le-am definit. Putem să împărţim aceste singularităţi în clase conform multiplicităţii lor, un număr pe care l-am definit pentru fiecare punct al curbei. Punctele cu multiplicitate unu sunt cele netede, nesingulare. Se arată fără mare dificultate că un punct de multiplicitate doi poate fi, într-un sistem de coordonate convenabil, doar nod sau cuspidă.
Ca să mergem mai departe, construim exemple de singularităţi de multiplicitate trei şi mai mare, până când ni se par suficiente pentru a descrie toate clasele posibile. Găsirea exemplelor e unul dintre aspectele cele mai creative şi inovative ale matematicii; şi e mai degrabă dificil, nu e ca şi cum te-ai gândi la un măgar zburător sau la un înger cu aureolă. Fantezia trebuie menţinută în limitele regulilor jocului, trebuie să satisfacă anumite cerinţe şi restricţii (în acest caz, de exemplu, să
avem o multiplicitate fixată) şi trebuie exprimată limpede în limbajul universal şi operativ al matematicii.
CURBE
65
Arnold, Thom şi alţii au clasificat punctele singulare ale ""
curbelor şi ale suprafeţelor. Clasificarea singularităţilor în dimensiuni superioare (chiar şi numai în cazuri particulare) se numără printre rezultatele cele mai importante din geometria de azi.
Teoria catastrofelor îşi fixează şi un al doilea obiectiv foarte ambiţios: să studieze când un punct singular, al unei curbe sau al unui obiect de dimensiune mai mare, determină parţial sau integral întreaga curbă sau întregul obiect care-l conţine. Ne aflăm în faţa unei răsturnări de perspectivă: nu mai plecăm de la curbă, ci doar de la un punct al ei foarte special şi ne întrebăm dacă el conţine suficientă informaţie pentru a reconstrui curba. Vedem manifestată aici extraordinara capacitate a matematicii de a „inversa" raţionamentul logic.
Exemplul următor ne poate da o idee despre cele de mai sus.
Să presupunem că avem o curbă algebrică plană de gradul n, cu n întreg pozitiv, care are un punct singular de multiplicitate n; atunci, curba e formată dintr-o reuniune de n drepte care trec prin acel punct. Cititorul interesat poate găsi demonstraţia în cartea lui Edoardo Semesi, Geometria I, în capitolul 34.*
Ideea că o singularitate, o catastrofă, poate determina obiectul sau fenomenul care o conţine e ingenioasă şi are foarte multe aplicaţii în numeroase domenii ale ştiinţei modeme. Să
ne gândim la tranziţiile de stare din chimie, la extincţii sau la mutaţiile survenite în procesele vii, la găurile negre din fizică.
Pe la jumătatea secolului trecut, mulţi credeau că totul se poate reduce la „evenimente" excepţionale sau singulare; ca urmare, a apărut teoria haosului, rezumată eficient de Edward Norton Lorenz (I 917-2008), matematician şi meteorolog, într-un titlu celebru al unei conferinţe: E posibil ca bătaia aripilor unui fluture în Brazilia să provoace o tornadă în Texas?
* Sau în orice altă carte despre curbe algebrice, de exemplu în Philip A. Griffiths, Introduction to algebraic curves, Amer. Math. Soc., 1989. (N. tr.) 66
FORMA LUCRURILOR
GALILEI, UN NOU MOD DE A PUNE PROBLEMA
Un alt protagonist excepţional din secolul al XVII-lea, secol de aur pentru teoria curbelor şi pentru dezvoltarea matematicii, e, fără nici un dubiu, Galileo Galilei (1564-1642) care, împreună
cu elevii lui, aplică teoria curbelor la probleme de mecanică şi, în general, de fizică. Metoda sa vine în continuarea concepţiei lui Platon şi a exploratorilor lumii ideilor, dar abia acum devine cu adevărat puternică afirmaţia că o teorie e validă din punct de vedere ştiinţific dacă şi numai dacă se poate reprezenta cu ajutorul unui model matematic.
Cărţile lui Galilei sunt pline de exemple şi de construcţii de curbe şi au meritul de a formula limpede problemele de fizică
şi de a schiţa propuneri de soluţii bazate pe raţionamente matematice. Ele invită la citirea naturii cu ochii geometrului şi afirmă convingerea că natura abstractă şi complexitatea matematicii ne permit să depăşim graniţele teritoriului pe care-l locuim, aventurându-ne în explorarea universului.
Galilei nu e la fel de sistematic în studiul geometriei ca Descartes, contemporanul său care, se pare, îl admira mult; el utiliza geometria în mod clasic, fără să folosească puntea către algebră.
Problemele legate de mişcarea şi căderea corpurilor grele pe care şi le pune reclamă de fapt o matematică mai complexă şi mai abstractă decât are el la dispoziţie, ceea ce face ca multe dintre rezultatele sale să fie incomplete sau parţiale. Îi lipseşte, mai ales, forţa calculului diferenţial (calculus) care va fi dezvoltat nu peste multă vreme de o mulţime de matematicieni printre care Isaac Newton (1642-17 27 ) şi Gottfried Leibniz (1646-17 16).
Iată cum introduce Galilei ziua a treia din Discursuri şi demonstraţii matematice în jurul a două noi ştiinţe în legătură cu mecanica şi cu mişcările locale, publicate în 1638, la cinci ani după
faimosul proces:
Să pornim acum o ştiinţă nouă în jurul unui subiect extrem de vechi. Poate că nu există în natură ceva mai vechi CURBE
67
decât mişcarea despre care filozofii au scris nu puţine vo- ""
lume şi nu tocmai mici; cu toate acestea, printre proprietă
ţile ei se află multe care, deşi demne de a fi cunoscute, nu au fost încă observate şi, în nici un caz, demonstrate. Dintre ele, se remarcă unele imediate, ca, de exemplu, aceea că
mişcarea naturală a corpurilor grele în cădere se accelerează în mod continuu; dar nu ştim, deocamdată, în ce raport are loc această accelerare: după ştiinţa mea, nimeni nu a demonstrat că un mobil care cade din repaos parcurge, în timpi egali, distanţe care se păstrează în acelaşi raport ca numerele impare succesive ah unitate.
S-a observat că obiectele aruncate, mai bine zis proiectilele, descriu o linie curbă de un anume tip; totuşi, nimeni nu a demonstrat că aceasta e o parabolă. Voi demonstra că
aşa este, şi încă alte lucruri, deloc puţine şi la fel de vrednice de a fi cunoscute, şi, ceea ce reţin a fi încă şi mai important, se vor deschide astfel porţile unei foarte întinse şi minunate ştiinţe pentru care aceste cercetări ale noastre vor fi doar începutul; alte minţi, mai pătrunzătoare decât a mea, îi vor explora mai târziu cotloanele mai ascunse.
