La cumpăna secolelor XVII şi XVIII, lucrau la Basel fraţii Jacob şi Johann Bemoulli (1654-1705 şi 1667-1748), ambii matematicieni, detestându-se pe faţă. Discutând cu fratele lui problema brahistocronei, Johann înţelese că Jacob se păcălise citindu-l pe Galilei-anume crezând că soluţia era chiar arcul de cerc. Ca să-şi ridiculizeze fratele, se decise să lanseze în revista Acta Eruditorum din 1696 un concurs public pentru rezolvarea problemei.
Cinci matematicieni au ridicat mănuşa şi au propus soluţii exacte: Newton, Leibniz, de L'Hâpital, Jacob şi Johann Bernoulli. Deci învingător a fost şi Jacob, spre dezamăgirea lui Johann, căruia totuşi i-a rămas satisfacţia de a fi propus soluţia cea mai elegantă şi ingenioasă, construită într-o serie de paşi pe care-i prezentăm în continuare.
Să începem prin a fixa un sistem de referinţă cartezian cu originea în punctul A şi cu axa ordonatelor y orientată în -jos.
La primul pas, folosim formula pentru viteza unui corp supus doar forţei gravitaţionale:
V = ✓2gy
unde g e acceleraţia gravitaţională, iar y e a doua coordonată a punctului (de-a lungul axei ordonatelor). Formula aceasta rezultă din principiul căderii libere a corpurilor grele al lui Galilei sau din principiul fizic al conservării energiei unui sistem izolat.
Acum Johann Bernoulli discretizează problema: împarte planul în benzi orizontale (vezi figura 2.20) şi presupune că în CURBE
71
A
Figura 2.20
fiecare dintre ele particula se mişcă în linie dreaptă; curbele dintr-o asemenea aproximare se numesc liniare pe porţiuni; atunci când benzile devin infinit de mici, curbele care aproximează tind către curba căutată.
În acest punct, Johann are o intuiţie de geniu: observă că
lumina urmează întotdeauna drumul cel mai scurt, aşa că
presupune că drumul căutat trebuie să fie cel al unei raze de lumină. Ideea că lumina se mişcă mai repede decât orice altceva va fi reluată, cum ştim, de Einstein în teoria relativităţii.
Dar o rază de lumină care traversează un spaţiu compus din medii diferite în straturi diferite se supune legii refracţiei optice - legea lui Snell. Astfel, în fiecare bandă, raportul dintre viteză şi sinusul unghiului a, determinat de porţiunea liniară
(adică de tangenta la curbă) şi de axa ordonatelor, trebuie să
fie constant, deci independent de banda considerată: _v_ = constant =
sin(a)
K
Constanta poate fi găsită în urma unor experienţe optice directe, rationem experientiae, cum au făcut, de altfel, Snell şi Descartes, sau printr-o demonstraţie matematică, aşa cum a procedat Fermat, pornind de la faptul că natura operari per modos 72
FORMA LUCRURILOR
et vias faciliores et expeditiores.* În realitate, Fermat a avut nevoie de cinci pagini pentru demonstraţia asta care nu i s-a părut dintre cele mai uşoare; câţiva ani mai târziu, Leibniz, folosind întreaga putere a analizei matematice, a demonstrat-o din nou, mândru nevoie mare, in tribus lineis**·
Ecuaţia asta traduce condiţia de minimalitate într-o condiţie pur matematică.
Ultimul pas e de natură strict geometrică şi se bazează pe geometria euclidiană şi pe definiţiile sinusului şi cosinusului.
În figura 2.20, fie fu şi !iy creşterile variabilelor x şiy de-a lungul curbei în banda aleasă; b.x şi !iy sunt catetele unui triunghi dreptunghic cu un unghi egal cu a. Din definiţia funcţiilor trigonometrice ştim că raportul catetelor unui triunghi dreptunghic e egal cu raportul dintre sinusul şi cosinusul unghiului dintre ele. Avem deci identitatea !iyl b.x = cos( a)/sin( a). Cum cos( a) = .J1 - sin2( a), prin simple manipulări algebrice obţinem sffi(
+(:)'
a) = Ji
Punând acum cap la cap cei trei paşi precedenţi, anume principiul fizic al conservării (invarianţei) energiei totale, condiţia variaţională de minimalitate şi condiţia geometrică a geometriei euclidiene, obţinem
K Ji+(I:)' =Ksin(a)=v=J2gy
Scoţând de aici raportul !i.y/!ix, ajungem la ecuaţia diferenţială a brahistocronei:
: - )c� Y
cu c o constantă care depinde de K şi de g.
* Natura acţionează în modul cel mai simplu şi direct. (N. tr.)
** În trei rânduri. (N. tr.)
C U R G E
/ l
