ţinem polinomulp,(x) =x(t-x). Dar
g (x) = (t-x) se anulează în O dacă
1
Figura 2.15
şi numai dacă t = O; aşadar, toate
62
FORMA LUCRURILOR
Figura 2.16
Figura 2.17
dreptele, cu excepţia drepteiy= 0, intersectează curba cu multiplicitate unu. Deci punctul neted şi tangenta sa sunt date de dreaptay= 0.
Folium-ul lui Descartes, de ecuaţie x3 + y3 - 3axy = O, are în P = (0,0) un punct singular (figura 2.16). Înlocuind y cu valoarea y = tx în ecuaţia carteziană, obţinem polinomul p(_x) = - 3 tax2 + (1 + t3}x3 = x(3 tax+ (1 + t3)x2). Se observă că O e o rădăcină a polinomului (3 tax+ (1 + t3)x2), oricare ar fi valoarea lui
t. Astfel, toate dreptele intersectează curba cu multiplicitate doi şi punctul P = (0,0) e singular. Cititorul interesat poate demonstra că dreptele y = O şix = O sunt unicele care întâlnesc Folium-ul cu multiplicitate trei, deci pot fi considerate ca fiind tangente: acest tip de singularitate se numeşte nod.
Un alt exemplu de punct singular e dat de curba de ecuaţie y2 -x3 = O (figura 2.17 ). Punând y = tx în ecuaţie, obţinem polinomul p(_x) = f-x2 - x3• Orice dreaptă taie curba cu multiplicitate mai mare decât doi, deci punctul P = (0,0) e singular. Pentru t = O, polinomul se anulează cu multiplicitate trei, deci dreaptay = O
poate fi considerată tangentă în punctul cuspidal. În schimb, dreaptax= O nu e tangentă la cuspidă. Acest tip de singularitate se numeşte cuspidă.
Folium-ul e, sub multe aspecte, un exemplu crucial în istoria gândirii matematice: Descartes şi-a provocat adversarul, pe Pierre de Fermat, să-i studieze tangentele. Fermat, care tocmai punea la punct o altă metodă pentru construcţia tangentelor, a acceptat provocarea şi a ieşit învingător.
CURBE
63
Calculul lui Fermat se baza pe un fel de prestidigitaţie fo- ""
losită mai târziu şi de alţii, printre care Newton: introducerea, la început, a unui element E foarte mic, infinitezimal, împărţirea cu E (necesară pentru simplificare) şi apoi reducerea lui la sfârşitul procesului, ca şi cum ar fi O.
Să luăm din nou exemplul paraboleiy=x2• Ca să calculăm panta tangentei într-un punct oarecare al ei (x,x2), să considerăm coarda între punctele (x, x2) şi (x + E,(x + E)2). Panta acestei coarde e dată de
(x + E)2 - x2 2xE + E2
-'---'--- = --- = 2x + E
(x + E) - x
E
Reducându-l pe E, obţinem că panta tangentei în punctul
(x,x2) este 2.x, ceea ce confirmă calculul nostru dinainte în O.
Metoda se aplică uşor tuturor curbelor de ecuaţiey=p(x), cu p(x) polinom: în aceste cazuri, termenul de grad maxim în polinomulp(x + E) se reduce cu cel din polinomulp(x); ceilalţi termeni pot fi deci împărţiţi cu E. Când reducem toţi termenii în E, mai bine spus, când îl facem pe E să tindă la O, obţinem panta tangentei la curbă sau, cum se va spune mai târziu, derivata luip(x) înx, notatăp(x).
Procedeul acesta i-a înfuriat pe filozofii epocii, mai ales pe Thomas Hobbes, cărora li se părea că se afirmă că 2x + E = 2x chiar dacă E*O. În termeni moderni, azi spunem că limt: o(2x + E) = 2x,
➔
dar conceptul de limită a unei funcţii apare mult mai târziu.
Eficacitatea metodei lui Fermat a dus la cvasi-ignorarea criticilor - în parte şi pentru că, în general, speculaţiile matematice ale lui Hobbes erau greşite.
Solicitat de provocarea lui Descartes, în 1638, Fermat îşi extinde metoda şi la curbele date de o ecuaţiefixJ') = O; pentru generalitatea acestor calcule ale sale, merită cu siguranţă un loc printre fondatorii calculului diferenţial.
Am definit deci punctele singulare ale unei curbe algebrice plane. Matematicienii extind acest concept la obiecte geometrice mai generale, cum sunt curbele din spaţiu, sau suprafe
ţele şi varietăţile de dimensiune mai mare - ne vom ocupa de 64
FORMA LUCRURILOR
