Noutăţile pe care le introduce Descartes sunt consecinţe naturale ale noilor tehnici algebrice de căutare a rădăcinilor polinoamelor, dezvoltate cu succes în secolul XVI de matematicieni italieni, printre care Cardano, Tartaglia, Scipione dal Ferro şi Ferrari.
O PROBLEMĂ DE TANGENŢĂ
Conceptul de dreaptă tangentă la o curbă într-un punct e foarte delicat şi bogat în implicaţii matematice. Despre el, Descartes scria: cutez a spune că [a găsi tangenta la o curbă] e problema cea mai utilă şi mai generală, nu numai pe care o cunosc, dar chiar şi aceea pe care mi-am dorit vreodată s-o cunosc în geometrie.*
* Descartes, Geometria, Cartea a 2-a, trad. Al. Giuculescu, Ed. Ştiinţifică, 1966. (N. tr.) 60
FORMA LUCRURILOR
În Elemente, Euclid dă definiţia
tangentei la un cerc; anume, în
Definiţia 2 din Cartea a III-a citim:
„se spune că e tangentă la cerc o
dreaptă care atinge cercul şi nu îl
taie când e prelungită".
E vorba deci despre o dreaptă
Figura 2.14
care pleacă dintr-un punct exte-
rior şi ajunge să aibă un punct comun cu cercul, iar apoi nu-l mai taie, adică nu mai ajunge într-un alt punct comun. S-ar mai putea spune că nu există nici o altă dreaptă între tangenta astfel defini tă şi circumferinţă ( figura 2 .14 ).
Definiţia lui Euclid pentru cerc se poate extinde la orice curbă algebrică plană - una diferită de o dreaptă: dat un punct pe curbă, considerăm toate dreptele care trec prin el; tangenta, dacă există, e acea dreaptă care are doar acel punct în comun cu curba (cel puţin într-o vecinătate mică). De fapt, Descartes foloseşte o metodă uşor diferită, anume caută un cerc care să aibă
doar un punct în comun cu curba şi defineşte tangenta ca fiind dreapta prin punct tangentă la cerc, folosindu-se de Euclid.
Considerarea curbelor în termeni algebrici permite punerea problemei într-un cadru general şi găsirea unor soluţii foarte precise. Intuiţiei geometrice îi ia locul calculul algebric abstract care, manipulat cu atenţie, conduce în mod mecanic la soluţia exactă. Ideea de bază e că dacă o dreaptă nu mai întâlneşte după aceea curba, atunci trebuie s-o întâlnească în punctul de multiplicitate maximă.
Conceptul de multiplicitate algebro-geometrică e delicat şi foarte mult studiat; încercăm în continuare să-l sugerăm măcar. Fixăm un sistem de referinţă cartezian cu originea în punctul curbei pe care vrem să-l studiem, deci fie P = (0,0).
Curba algebrică e definită ca punctele de coordonate (xJl) care satisfac ecuaţiaj{xJJ) = O; să presupunem că/nu e liniară, deci curba nu e o dreaptă. Dreptele care trec prin P sunt curbe de ecuaţie sy - tx = O, pentru anumite constante s şi t.
CURBE
61
Punctele care sunt comune curbei şi unei drepte se obţin ca ""
soluţii ale ambelor ecuaţii: j{xJ') = O şi sy - tx = 0. Din a doua ecuaţie, îl scoatem pe y în funcţie de x (sau pe x în funcţie de y) şi înlocuim în ecuaţiaf{xJ!} = O. În primul caz obţinem un polinom înx, pe care-l notăm p(x) şi care depinde şi des, t; în celălalt caz, obţinem un polinom îny, notat q(y). Polinomulp(x), respectiv q(y), se anulează în O pentru toate valorile lui t şi s, deoarece şi curba, şi dreapta trec prin P= (0,0). Aşadar,p(x) şi q(y) se pot scrie sub formap(x) =x · g(x) şi q(y) = y · h(y), cug(x) şi h(y) polinoame care, la rândul lor, depind de t, s, adică de dreaptă.
E interesant că, pentru anumite drepte, unul dintre polinoamele g şi h sau chiar ambele se anulează în O. Dacă dreapta pentru care se anulează e unică, atunci P se numeşte nesingular, sau neted, sau de multiplicitate unu, iar dreapta respectivă e tangenta în P la curbă.
Dacă dreapta nu e unică, punctul se zice singular, ori de multiplicitate mai mare ca unu, ori punct multiplu; caz în care se poate arăta că O e rădăcină a luig(x) şi h(y) pentru orice dreaptă şi deci orice dreaptă intersectează curba cu multiplicitate mai mare decât doi.
Tangenta se poate însă defini chiar şi în punctele singulare.
Intuitiv, e vorba despre dreptele care întâlnesc curba în punctul cu multiplicitate minimă.
Să analizăm trei exemple, primul va fi un punct neted, celelalte două vor fi puncte singulare.
Parabola de ecuaţie y-i1-= O trece
prin punctu.lP=(O,O) care e neted, cu
tangentay=O (figura 2.15}.
Pentru demonstraţie, să căutăm
punctele comune pentru dreapta
y - tx = O şi parabolă: înlocuind în
ecuaţia parabolei valoareay= tx, ob
