Conştiinţa anvergurii inovatoare a rezultatelor e însoţită de constatarea că instrumentele pe care le are la dispoziţie nu sunt suficient de potrivite şi e nevoie să fie perfecţionate de „alte minţi mai pătrunzătoare".
Printre marile principii ale ştiinţei modeme pe care Galilei le enunţă în cartea sa e şi acela conform căruia un corp greu în cădere liberă
accelerează continuu [ ... J şi parcurge, în timpi egali, distanţe care se păstrează în acelaşi raport ca numerele impare succesive ah unitate.
Galilei demonstrează experimental că obiectele materiale în cădere liberă în vid (adică fără frecare) cad cu aceeaşi acceleraţie, independent de masă, şi că legea de mişcare descriind 68
FORMA LUCRURILOR
spaţiul parcurs în funcţie de timp, pornind cu viteză iniţială
nulă, e dată de faimoasa formulăx(t) = ct2, unde c e o constantă.
Să observăm că suma primelor 2n + 1 numere impare e exact n2, proprietate cunoscută deja de matematicienii greci; deci, dacă, aşa cum observă Galilei, spaţiul parcurs în fiecare interval de timp se obţine adăugând un număr impar succesiv, legea de mişcare trebuie să depindă de pătratul timpului.
Pe baza acestui principiu, după o lungă serie de observaţii şi propoziţii, Galilei formulează următorul rezultat: Teorema 22 şi Propoziţia 36. Dacă din punctul cel mai de jos al unui cerc vertical ducem o coardă care subîntinde un arc nu mai mare decât un cvadrant, şi dacă din extremităţile acestei corzi ducem alte două corzi către orice punct de pe arc, timpul de cădere în lungul celor două corzi din urmă
va fi mai scurt decât cel de-a lungul celei dintâi şi, de asemenea, mai scurt cu aceeaşi cantitate decât cel de-a lungul corzii mai de jos.
Figura 2.18, extrasă din aceeaşi carte, ilustrează teorema: timpul de parcurs de-a lungul planelor înclinate AD şi DC e mai scurt decât cel de-a lungul lui AC sau decât de-a lungul lui DC.
Din această teoremă, cu un raţionament conţinut într-o Sco
lie care urmează imediat, deduce că „cu cât ne apropiem mai mult de circumferinţă cu linii poligonale înscrise, cu atât mai re- B�-------�A pede are loc mişcarea între capetele
notate A şi C', şi deci „din ceea ce s-a demonstrat se poate deduce că,
între două puncte, drumul parcurs
în cel mai scurt timp nu e cel mai
scurt, adică linia dreaptă, ci arcul
de cerc".
Raţionamentul lui Galilei se
bazează pe o serie de observaţii c
experimentale, deducţii logice şi
Figura 2.18
CURBE
69
Figura 2.19
elemente de geometrie euclidiană pe care nu le tratăm în această carte. Câţiva ani mai târziu însă, a fost formulată următoarea problemă mai generală: Problemă. Date două puncte A şi B într-un plan vertical, să
se determine drumul de-a lungul căruia o particulă mobilă
M care pleacă din A şi cade numai sub influenţa greutăţii sale ajunge în B în timpul cel mai scurt (figura 2.19).
Curba cu această proprietate a fost repede numită brahistocronă, prin unirea a două cuvinte greceşti: �PUXL<ITO<; = mai scurt şi xpovo<; = timp.
Galilei demonstrează că porţiunea de cerc e un drum care se parcurge în timp mai scurt decât dreapta, chiar dacă aceasta din urmă are lungime mai mică. Totuşi, arcul de cerc nu e drumul parcurs în cel mai scurt timp, adică nu e brahistocrona, după cum vor observa mai mulţi învăţaţi în a doua jumătate a secolului XVII.
Problema face parte din clasa de probleme numite de tip variaţional; acestea cer să se găsească un minim (sau un maxim) într-o mulţime de configuraţii posibile, faţă de o anume proprietate fixată. În cazul brahistocronei, configuraţiile sunt curbele care unesc A cu B, iar proprietatea e determinată de timpul de parcurs pe fiecare curbă.
70
FORMA LUCRURILOR
Pentru rezolvarea acestor probleme, matematicienii şi-au creat o mulţime de instrumente care azi sunt grupate într-o teorie foarte bogată, numită calcul variaţional. Printre specialişti, găsim şi mari matematicieni italieni, ca Enrico Bompieri (Medalie Fields în 197 4), Ennio de Giorgi, Luigi Ambrosio şi Alessio Figalli (Medalie Fields în 2018).
CALCU LU L, ALTE PRO BLEME, ALTE CURBE
