✓c�y
Azi, ideea de derivată e considerată mai simplă decât cea de integrală, chiar dacă ea s-a dezvoltat mai târziu - în pofida faptului că, aşa cum am văzut, Fermat introdusese raţionamente similare pentru calculul tangentei la o curbă.
Ca să integrăm ecuaţia brahistocronei avem nevoie de câteva cunoştinţe de analiză matematică specifice şcolilor superioare.
Facem întâi o substituţie, adică introducem o variabilă ajutătoare t şi presupunem căy depinde de t prin ecuaţia y(t) = csin 2(t) = �-�cos(2t)
2 2
Se vede acum uşor că
�Y = y(t) = csin(2t)
�t
Cum & = & . �Y . 6f,
�y 6t
folosind ecuaţia pentru !:ul!iy obţinem că & = 2csin 2(t)�t.
Această ultimă ecuaţie e uşor de integrat (se calculează de fapt aria de sub graficul funcţiei 2csin 2(t)M). Se obţine
x(t) = �(2t) -�sin(2t)
2
2
(Pentru cine preferă, e uşor de verificat că derivata i(t) e chiar 2csin 2(t).)
lată deci ecuaţii parametrice pentru curba brahistocronă: (x(t), y(t)) = (�(2t)-�sin(2t), � -�cos(2t))
2
2
2 2
76
FORMA LUCRURILOR
X
al
X
Figura 2.22
Bemoulli a studiat cu mare atenţie aceste ecuaţii şi a exclamat: ex qua cane/udo curvam brachystochronam esse cycloidem vulg a rem. Şi-a dat deci seama că brahistocrona nu e alta decât curba numită cicloidă, adică traiectoria descrisă de un punct fixat pe un cerc de rază a = c/2 care se rostogoleşte fără frecare pe o dreaptă. Într-adevăr, observăm în figura 2.22 că, la timpul
!,coordonatele punctului P de pe curbă satisfac ecuaţiile
x(t) = a(t) -asin(t) şi y(t) = a - acos(t).
Vedem deci că Johann Bernoulli face mai mult decât să
rezolve problema brahistocronei: el furnizează şi un mecanism pentru construcţia ei.
Cărţile de istorie sunt pline cu anecdote suculente despre Bemoulli; una anume mi se pare interesantă pentru că surprinde, pe de o parte, pasiunea lui pentru calculul variaţional şi, pe de altă parte, dificultatea cu care matematicienii şi oamenii de ştiinţă se fac acceptaţi de societate.
La începutul carierei, îndemnat şi de fratele Jacob, Johann studiază şi medicina, spunându-şi că ar putea fi un domeniu foarte bun pentru a aplica matematica. Îşi ia licenţa, apoi doctoratul în medicină, şi scrie o carte cu titlul De nutritione. În ea, plecând de la observaţia că nutriţia înlocuieşte o anume parte fixă de substanţă corporală distribuită uniform, calculează că
materialul din care e format corpul nostru se reînnoieşte complet într-o perioadă de trei ani. Rezultat care provoacă o aprinsă
dezbatere teologică pentru că implică imposibilitatea învierii complete a corpului în întreaga sa substanţă!
CURBE 77
Faima cucerită îi aduce catedra de matematică de la Universitatea din Groningen, în Olanda, şi, în consecinţă, îşi pierde interesul pentru medicină.
