se iau pe curbă două puncte, A
şi B, apropiate de P şi se consideră cercul determinat de A, B
şi P; cercul osculator e cercul
Figura 2.27
limită obţinut atunci când A şi
B se apropie de P (figura 2.27 ).
Centrul cercului osculator C se numeşte centru de curbură.
Inversa razei sale e curbura curbei în punctul P.
Cu această definiţie, curbura unei drepte e O, în timp ce curbura cercului de rază r e 1/r în fiecare punct, aşa cum ne doream.
Pentru o curbă dată ca grafic (x,y(x)), Newton găseşte o expresie elegantă pentru curbura într-un punct, în funcţie de primele două derivate:
[1
2
+ (j,(x)) 2 r
k(x,y) =
ji(x)
Ne putem imagina şi curbe care ies din plan şi „locuiesc"
de-a dreptul în spaţiul tridimensional. Acestea sunt numite uneori curbe „strâmbe" - în italiană: sghembe sau gobbe (coco
şate). Curbele de acest tip au fost studiate încă din Antichitate, adesea apărând ca intersecţii de suprafeţe sau ca spirale în spa
ţiu. Dar studiul lor sistematic începe abia în secolul XVIII, după
ce se impun ideile inovatoare ale lui Descartes şi Fermat, care permit reprezentarea unei curbe strâmbe într-un sistem de coordonate spaţial în care fiecare punct din spaţiu e asociat unui triplet (x,y,z). Astfel, curba se poate descrie prin ecuaţii parametrice, punctele ei fiind date de funcţii (x(t)Jl(t),z(t)) care 82
FORMA LUCRURILOR
depind de parametrul t. Desigur, cele trei funcţii trebuie să satisfacă
anumite condiţii de regularitate,
de exemplu să fie polinomiale sau
măcar derivabile.
Un exemplu interesant e curba
de ecuaţii parametrice (sin(t),cos(t),t)
care reprezintă o elice cilindrică.
Un altul e curba strâmbă de ecua
ţii (t,t2,t3); figura 2.28 reprezintă
un model al ei creat de Oliver Labs
Figura 2.28
cu o imprimantă 3D. Cubica e in-
serată într-un cub pe ale cărui feţe găsim trei curbe diferite obţinute proiectând cubice pe feţele respective (din punct de vedere matematic, asta înseamnă că renunţăm la una dintre coordonate). Se obţin: parabola (t,!2) pe faţa din stânga, cubica plană netedă (t,t3) (pe faţa de sus) şi cubica plană cuspidală
(t2,t3) (pe faţa frontală).
Prin orice punct P al unei curbe strâmbe se poate defini planul osculator ca poziţie limită a planului care trece prinP şi prin alte două puncte generice P' şi P" ale curbei, atunci când acestea din urmă tind la P de-a lungul curbei. Pentru o curbă plană, planul osculator coincide în fiecare punct cu planul curbei.
Pe modelul cercului osculator al unei curbe plane putem defini şi un cerc osculator pentru curbe spaţiale, impunându-i să rămână în planul osculator. Inversa razei sale se numeşte (prima) curbură a curbei în P. Dar cantitatea aceasta nu e suficientă pentru a înţelege cum şi cât se curbează curba în spaţiu.
Măsura variaţiei planului osculator în vecinătatea lui P se numeşte torsiune (ori a doua curbură) a curbei în P. Curbura şi torsiunea determină complet comportarea curbei spaţiale.
