Conceptul de curbură se extinde apoi la suprafeţe şi, mai departe, la varietăţi de dimensiune superioară, după cum vom vedea, devenind unul dintre conceptele cele mai profunde şi fecunde din geometria modernă.
CURBE
83
ÎN CĂUTAREA PUNCTELOR RAŢIONALE
Odată ce adoptăm definiţia lui Descartes pentru curbele algebrice, anume locul punctelor din plan ale căror coordonate (x.Y) satisfac o ecuaţie de tipul J(x.Y) = O, apare firesc întrebarea dacă o asemenea curbă are întotdeauna puncte, altfel spus: dată o funcţie f(x.Y), există întotdeauna perechi de numere (x,Y) care-o anulează? Iar dacă există, avem vreun mod de a le determina sau vreun algoritm pentru a le calcula?
Curba dată de ecuaţiaf(xJl) =x 2 +y2 + I = 0, de exemplu, nu are soluţii în numere reale: într-adevăr, pătratul unui număr real e întotdeauna pozitiv, astfel că j{x,Y) e întotdeauna mai mare sau egală cu I.
Numerele reale sunt o mulţime care conţine, pe lângă numerele naturale {O, 1,2,3, .. . },peceleîntregi {0,±l,±2,±3,±4, . . . }, numerele raţionale, adică fracţiile plq cup şi q întregi, şi multe alte numere, zise iraţionale, ca de exemplu rădăcinile de anumite ordine ale unor numere întregi (✓2, ... ), şi numere zise transcendente (n, e, . . . ). Toate numerele acestea au fost bine definite şi axiomatizate abia pe la începutul secolului XX.
Matematicienii au creat apoi o mulţime de numere şi mai bogată, numerele complexe, care conţine numerele reale şi numerele imaginare, determinate ca rădăcini pătrate de numere negative, de exemplu J::i := i. În această mulţime, orice curbă
algebrică are puncte. Azi studiem curbele folosind numerele complexe şi abia apoi clasificăm punctele în reale şi pur „imaginare".
În acest context, problema cea mai grea (dar şi cea mai bogată în aplicaţii) e determinarea punctelor unei curbe algebrice cu coordonatele perechi de numere raţionale, sau pur şi simplu întregi, şi cum anume să le găsim.
Dacă curba e de gradul 1, adică e o dreaptă, soluţia e foarte simplă: e de ajuns să atribuim uneia dintre variabile o valoare raţională şi să scoatem valoarea celeilalte rezolvând ecuaţia, apoi să vedem dacă şi aceasta din urmă e raţională. De exemplu, dacă
84
FORMA LUCRURILOR
il + f = I
Figura 2.29
dreapta e dată de ecuaţia 3x-y + 2 = O, atribuind lui x valoarea plq obţinem pentruy valoarea 3(p/q) + 2 care e raţională.
Problema e deja mult mai dificilă pentru o curbă de gradul 2; să luăm, de exemplu, cercul x2 + y2 = I. În acest caz, dacă dăm o valoare raţională uneia dintre cele două variabile, pentru a găsi valoarea celei de-a doua trebuie să extragem o rădăcină pătrată, astfel că, foarte probabil, nu vom obţine o valoare raţională.
Problema găsirii punctelor raţionale pe cerc a fost rezolvată
în secolul III d.Cr. de Diofant din Alexandria. Metoda lui se numeşte azi a corzilor. Pornim cu o soluţie raţională, să zicem x = - I şi y = O, şi construim toate dreptele care trec prin acest punct, ca în figura 2.29. Dreptele acestea sunt descrise de ecuaţia y = t(x + I). Pentru fiecare t, dreapta corespunzătoare taie cercul în alt punct ale cărui coordonate se determină cu uşurinţă: I - t2
2t
x(t) = I + t2 ' y(t) = I + t2
Când t variază, parcurgem astfel întregul cerc, deci acestea sunt ecuaţii parametrice ale cercului - foarte simple, rapoarte de polinoame. Funcţiile care sunt rapoarte de polinoame cu coeficienţi raţionali se numesc raţionale şi au proprietatea, CURBE 85
importantă pentru scopul nostru, că iau valori raţionale pentru ...
orice valoare raţională a variabilei t.
Aşadar, dând valori raţionale variabilei t în cele două ecuaţii precedente, anume t=p/q cup şi q numere întregi, găsim că perechile de numere raţionale care satisfac ecuaţiax2 + y2 = I sunt
-
(x,y) ( q2 - p2 2pq
--
2 , -
2 --
2 )
- -2
q + p q + p
cu p şi q luând toate valorile întregi.
Diofant observă că din perechile acestea putem obţine toate tripletele de numere întregi (a, b, c) cu proprietatea că
a 2 + b 2 = c2, aşa-numitele triplete pitagoreice. Tot ce avem de făcut e să eliminăm numitorul comun, q 2 + p 2 pe care să-l redenumim c, apoi (eventual) să înmulţim totul cu un întreg r. Obţinem astfel toate tripletele pitagoreice: (a,b,c) = (r(q 2-p2), r2pq, r(q2 + p2)) unde r,p şi q sunt numere întregi. De exemplu, cu r = I , p = I şi q = 2 avem tripletul pitagoreic (3,4, 5).
