O ecuaţie polinomială în două (sau mai multe) variabile cu coeficienţi numere întregi (sau raţionali) se numeşte ecuaţie diofantică. Găsirea unor perechi de numere raţionale care satisfac ecuaţii diofantice de grad superior lui doi e o problemă
dificilă, studiată cu tehnici care azi au devenit foarte sofisticate şi care ţin de algebră, de geometrie şi de analiză.
Sigur că problema ar avea imediat soluţie dacă s-ar putea găsi o parametrizare raţională - din păcate, în general asemenea parametrizări nu există.
De curbele algebrice plane s-a ocupat şi Newton; în particular, urmând calea deschisă de Descartes, a clasificat complet curbele de gradul al treilea, cubicele. Pasul crucial în clasificarea lui Newton constă în observaţia că orice cubică fără nici un punct singular are cel puţin un punct de inflexiune, adică un punct nesingular în care tangenta „atinge" curba cu multiplicitate mai mare decât doi. Pornind de la această observaţie, Newton demonstrează că pentru orice cubică nesingulară
86
FORMA LUCRURILOR
există un sistem de referinţă convenabil în care ecuaţia care-o defineşte capătă formay2 = ax3 + bx2 + ex + d.
Cubicele singulare admit parametrizări raţionale, după
cum am văzut, de exemplu, în cazul Folium-ului lui Descartes.
În schimb, curbele nesingulare (netede) nu au în general parametrizări raţionale; mai mult, acest lucru e adevărat pentru orice curbă algebrică plană nesingulară de grad mai mare decât doi. Merită observat că, în matematică, a demonstra imposibilitatea a ceva - în cazul nostru, imposibilitatea parametrizării cu funcţii raţionale - e adesea mai dificil decât a demonstra că
ceva e posibil.
Problema parametrizării cubicelor netede cu funcţii cât mai simple a fost atacată de mari matematicieni printre care Niels Henrik A bel (1802-1829), Carl Gustav Jacobi (1804-1851 ), Carl Friedrich Gauss (17 77-18 5 5), Leonhard Euler (1 7 O 7 -17 83 ). Prin analogie cu funcţiile trigonometrice sinus şi cosinus care parametrizează cercul, aceştia au introdus nişte funcţii speciale, numite juneţii eliptice, care parametrizează în mod natural cubicele netede.
Funcţiile eliptice nu sunt algebrice, nici raţionale, deci nu se pot exprima nici ca polinoame, nici sub formă de rapoarte de polinoame, iar descrierea lor e mai degrabă complexă - în adevăratul sens al cuvântului, adică pentru a le înţelege câtde cât trebuie să trecem la numerele complexe despre care am vorbit mai sus. Se pot demonstra multe proprietăţi ale lor, asemănătoare funcţiilor trigonometrice. De exemplu, proprietăţi de adunare: date valorile unei funcţii eliptice în două puncte, se poate calcula valoarea într-un al treilea punct printr-un procedeu matematic numit adunare.
Cu ajutorul funcţiilor eliptice se pun în evidenţă multe proprietăţi geometrice şi algebrice sau aritmetice ale cubicelor plane care, din acest motiv, se mai numesc şi curbe eliptice.
O teoremă importantă, lansată ca o conjectură de Henri Poincare (1901) şi demonstrată ulterior de Louis Mordell (192 2), afirmă că metoda corzilor a lui Diofant poate fi aplicată cu CURBE
87
succes şi în cazul cubicelor. Orice punct cu coordonate raţia!"'
nale al unei cubice netede se poate obţine plecând de la o mul
ţime finită de puncte raţionale şi intersectând cubica cu corzi duse prin două dintre ele sau tangente la unul dintre ele. Din păcate, nu există un algoritm care să determine punctele iniţiale pentru orice cubică.
Diofant însuşi, în cartea sa Arithmetica, foloseşte nu numai corzi, ci şi tangente ca să găsească puncte raţionale pe cubică.
Ca să-i înţelegem abilitatea tehnică surprinzătoare pentru epoca aceea, să ne uităm la o problemă şi la soluţia ei, din capitolul 6 al cărţii.
Problema 18. Să se determine un triunghi dreptunghic a cărui arie adăugată ipotenuzei să fie un (număr raţional ridicat la) cub şi al cărui perimetru să fie un (număr raţional ridicat la) pătrat.
Să interpretăm problema în limbaj modem: alegem unitatea de măsură în aşa fel încât o catetă a triunghiului să aibă lungimea 2. Notând cu b şi c a doua catetă şi ipotenuza, problema se traduce uşor în cererea de a găsi b şi c astfel încât b + c = /33
iar 2 + b + c = y2. Înlocuind b + c = f33 în a doua ecuaţie obţinem
/33 + 2 =y2. Notăm x =/3 + 1 şi avem deci de găsit punctele raţionale ale cubicei x3- 3x2 + 3x + 1 = y2.
Diofant sugerează să punem (3/2)x + 1 în loc de y; substitu
ţia asta fumizează ecuaţia x3-(2 1/4)x2 care are soluţiile x = O şi x = 2 I /4. Aceasta din urmă ne dă, urmând calea inversă, soluţia b - 2412 1 1 85 . c _ 24153953
- 628864 Şl - 628864
Diofant nu ne spune cum a ajuns la substituţia asta. Azi ne-am putea gândi că a luat punctul raţional (O, I ) pe curbă, a calculat tangenta la curbă în acel punct descoperind că e tocmai dreaptay = (3/2)x + 1 (figura 2.30)!
Cititorul poate verifica uşor că dreapta respectivă e într-adevăr tangenta în (O, 1 ) ; sugerez să translateze punctul în (0,0), apoi să modifice corespunzător ecuaţia curbei.
88
FORMA LUCRURILOR
Figura 2.30
Pierre de Fermat a fost un cititor pasionat al Aritmeticii lui Diofant. A scris numeroase observaţii pe marginile unei ediţii din 1621, adunate într-o carte publicată postum - a fost soarta cam tuturor operelor sale. Într-una dintre ele a notat: Pe de altă parte, e imposibil ca un cub să se poată scrie ca sumă de două cuburi, sau ca o putere a patra să fie suma a două puteri a patra, sau, în general, ca orice număr care e o putere mai mare decât doi să se poată scrie ca o sumă de două puteri analoage. Am găsit o demonstraţie cu adevărat splendidă a acestei propoziţii, dar marginea acestei cărţi e prea mică s-o conţină.
Fermat afirmă aici că nu există trei întregi nenuli a, b, c, cu n întreg, mai mare ca 2, astfel ca a" + b" = c". Altfel spus, că ecuaţia diofanticăx" + y' = I nu admite soluţii raţionale pentru n2:3.
Aceasta e una dintre cele mai celebre probleme matematice
