tregul în suprafaţă. Exemple de su-
prafeţe riglate sunt conurile, adică
suprafeţele generate de dreptele care unesc o curbă plană cu un punct exterior planului (zis vârf al conului); de asemenea, cilindrii, care sunt generaţi de drepte care trec printr-un punct al unei curbe plane şi sunt perpendiculare pe planul curbei. Figura 3.2 reprezintă un hiperboloid cu o pânză (zis şi hiperbolic), cu un con în interior: e o suprafaţă dublu riglată pentru că
prin fiecare punct al său trec două drepte distincte conţinute în întregime pe suprafaţă.
Un alt tip de suprafaţă riglată e cea generată de toate tangentele la o curbă spaţială. Suprafeţele riglate de acest tip se mai numesc desjăşurabilepentru că, dacă le gândim ca pe nişte bucăţi de stofă flexibilă şi inextensibilă, pot fi întinse, cel pu
ţin local, pe o suprafaţă plană.
Un alt exemplu de suprafaţă riglată e elicoidul, generat de mişcarea elicoidală a unei drepte de-a lungul unei axe. Atunci când dreapta e perpendiculară pe axă, vorbim despre un elicoid drept. Scara „în spirală" e un asemenea exemplu, altul e celebrul burghiu hidraulic al lui Arhimede, un dispozitiv mecanic folosit pentru a ridica un lichid sau un material granular, care e încă folosit pentru extragerea apei.
96
FORMA LUCRURILOR
ARHIMEDE ŞI GEOMETRIA SFEREI
Perfecţiunea cercului şi, mai ales, a sferei îl fascinează pe m.i n •li•
matematician grec Arhimede (287-2 1 2 î.Cr.). Figură embk111,1
tică de om de ştiinţă şi inventator, Arhimede trăieşte şi lucrcaz:-t la Siracuza, în cultura Magna Greciei, având o abordare foarll'
autonomă şi originală, dar păstrând mereu un contact foarte strâns, prin corespondenţă, cu învăţaţii din Alexandria. În geometrie, în mod special, Arhimede a demonstrat rezultate şi teoreme surprinzătoare.
Metoda sa de cercetare e foarte inovativă şi, în anumite privinţe, diferită de a lui Euclid şi a altor geometri greci. Am redat în primul capitol cuvintele cu care descria chiar el modul în care ajungea la descoperiri matematice în două etape oarecum distincte.
În prima etapă, cu o metodă pe care el o numea mecanică, bazată pe principii de echivalenţă a măsurilor (greutăţi, lungimi, arii) verificabile concret, ajutându-se eventual de instrumente mecanice (pârghii şi suprapuneri), ajunge la formularea unor teoreme. Un mod foarte practic de a face matematică, asemănător celui folosit azi în ingineria matematică.
Nu atribuie acestei prime metode o rigoare suficientă pentru a determina o dovadă matematică a rezultatului, aşa că fumizează, în etapa a doua, o demonstraţie concluzivă pe care o numeşte geometrică, folosind metoda logico-deductivă a lui Euclid.
Mai precis, se referă la metoda exhaustiei a lui Eudoxos, metodă
care constă în aproximarea figurii care constituie obiectul analizei, din interior şi din exterior, cu poligoane sau cu poliedre.
Nefiind mulţumit de versiunea teoriilor lui Euclid conţinute în Cartea a V-a a Elementelor, Arhimede îi face o prezentare mai aprofundată şi introduce o nouă axiomă (pe care azi o numim axioma lui Arhimede). Să zăbovim un pic asupra teoriei exhaustiei ca să înţelegem în ce constă partea ei delicată şi de ce a fost nevoie de adăugarea noii axiome.
Teoria proporţiilorîşi propune să considere lungimile curbelor (sau ariile suprafeţelor, volumele corpurilor) ca numere.
SUPRAFEŢE
97
Grecii nu aveau la dispoziţie decât numerele raţionale-chiar dacă, aşa cum am văzut, erau perfect conştienţi de existenţa lungimilor iraţionale: din teorema lui Pitagora, de exemplu, reiese că lungimea diagonalei pătratului de latură I e rădăcina pătrată a lui 2, un număr iraţional sau, cum se spunea peatunci, incomensurabil.
Cum trebuie deci interpretate asemenea lungimi? Cum să
le comparăm? În prima carte a tratatului său Despre sferă, Arhimede enunţă următorul postulat: Postulat. Că în plus între linii inegale, suprafeţe inegale şi corpuri inegale cel mai mare îl depăşeşte pe cel mai mic cu o cantitate care, dacă e adăugată sieşi, poate depăşi orice mărime fixată de tipul celor comparate între ele.
Azi încă spunem că într-o mulţime de numere, înzestrată
cu o adunare şi o înmulţire (un corp) şi cu o ordine, e satisfăcută axioma lui Arhimede dacă pentru orice două numere pozitive a şi b există un întreg pozitiv n astfel ca na>b. Numerele reale formează un corp ordonat care rezultă că e arhimedian; la fel, numerele raţionale. În plus, numerele reale formează
un corp complet, ceea ce e mai mult decât arhimedian, motiv pentru care fiecărei lungimi a unui segment îi putem asocia un număr real; se poate deci vorbi despre dreapta reală.
Din proprietatea lui Arhimede rezultă, fără mare dificultate, că lungimile raţionale (numerele raţionale) sunt dense în totalitatea lungimilor (numerele reale), altfel spus, pentru orice pereche de lungimi x<y există o lungime raţională a intermediară: x<a<y.
Astfel, axioma aceasta i-a permis lui Arhimede să afirme fără
ambiguitate că orice lungime e determinată în mod univoc de lungimile raţionale mai mici şi mai mari decât ea. Vom spune deci că două lungimi sunt egale, / = /
1
2, dacă orice lungime raţională mai mică decât / e mai mică şi decât / şi reciproc.
1
2
Metoda exhaustiei se bazează pe teoria proporţiilor şi constă în calculul unei mărimi � comprimând-o între o limită inferioară, 98
FORMA LUCRURILOR
