lungimea S(r) a cercului de rază r e dată de formula S(r) = 2m-.
În tratatul despre Măsura cercului, Arhimede foloseşte metoda exhaustiei pentru a determina, cu o bună aproximaţie, constanta 1t, gândită ca aria cercului de rază unitară. Problema aceasta e numită de obicei cuadratura cercului- în uzul comun s-a încetăţenit ca o sintagmă care denumeşte ceva imposibil de realizat. Arhimede şi matematicienii greci intuiseră că acest număr nu e raţional, dar o primă demonstraţie veritabilă a apărut abia în 1794, opera matematicianului Adrien-Marie Legendre. În 1882, Ferdinand von Lindemann a demonstrat că, mai mult, 1t e chiar transcendent, astfel că nici o putere a sa şi nici o combinaţie de puteri ale sale nu poate fi raţională. Numărul 1t e deci foarte neprietenos şi, până la urmă, metoda cea mai bună ca să-l înţelegem e tot teoria proporţiilor şi metoda exhaustiei. Iată enunţul lui Arhimede:
Propoziţia 3. Circumferinţa oricărui cerc e triplul diametrului şi îl depăşeşte cu mai puţin de o şeptime a diametrului şi cu mai mult de zece şaptezeci şi unu zecimi.
Altfel spus, Arhimede demonstrează că 1t e curpins între 3 + ( I 0/71 ) şi 3 + ( 1/7). Demonstraţia se obţine cu metoda exhaustiei, înscriind şi circumscriind cercul cu poligoane având până
la 96 de laturi!
În tratatul despre Cuadratura parabolei, Arhimede foloseşte o exhaustie cu triunghiuri pentru a demonstra că aria segmentului 1
I de parabolă, adică a părţii din
plan cuprinse între parabolă şi o
\
�
dreaptă care-o intersectează, ca în
figura 3.4, e echivalentă cu 2/3 din
Figura 3•4
aria dreptunghiului circumscris.
100 FORMA LUCRURILOR
Aceste două rezultate îi aduc rapid celebritatea, dar rezultatul cu care se mândreşte cel mai mult Arhimede e găsirea ariei sferei, din tratatul Despre sferă şi cilindru, în introducerea căruia scrie:
În continuare, găsind eu nişte teoreme demne de a fi studiate, le-am demonstrat. Iată-le: întâi, că suprafaţa sferei e împătritul cercului său maxim* [ ... J În afară de acestea: că orice cilindru cu baza egală cu cercul maxim al unei sfere şi cu înălţimea egală cu diametrul e o dată şi jumătate sfera, iar suprafaţa sa totală e şi ea o dată şi jumătate suprafaţa sferei. [ ... J
Aceste proprietăţi erau dintotdeauna inerente naturii figurilor menţionate, dar nu erau cunoscute de cei care s-au ocupat cu geometria, din moment ce nici unul dintre ei nu înţelesese că aceste figuri sunt comensurabile. De aceea, eu nu m-aş codi să compar aceste proprietăţi cu speculaţiile altor geometri şi cu acele teoreme ale lui Eudoxos despre figurile solide care, după mine, sunt excelente, anume că orice piramidă e o treime din prisma cu aceleaşi bază şi înălţime, şi că
orice con e o treime din cilindrul cu aceleaşi bază şi înălţime.
Notând cu S(r) suprafaţa sferei de rază r, Arhimede spune că e cvadruplul cercului său maxim, adică S(r) =4nr2. Mai spune şi că cilindrul circumscris, ca în figura
3.5, are suprafaţa o dată şi jumătate
cât suprafaţa sferei, deci
3
2
-S(r) = (21rr · 2r + 21rr )
2
ceea ce se reduce la formula precedentă.
Se povesteşte că Arhimede a cerut ca figura 3.5 să-i fie sculptată pe mormânt, în amintirea acestei mari
descoperiri. Ne-o confirmă Cicero
care scrie:
Figura 3.5
* În textele româneşti, termenul încetăţenit este „cerc mare". (N. tr.) SUPRAFEŢE 101
Pe când eram chestor, am căutat mormântul lui Arhimede, ...
despre care siracuzanii nu ştiau nimic, chiar tăgăduiau că
ar exista - l-am găsit înconjurat şi acoperit de tufişuri şi ramuri. Cunoşteam de fapt nişte versuri scurte despre care aflasem că ar fi scrise pe monumentul său, conform cărora deasupra mormântului ar trebui să se afle o sferă cu un cilindru. Aşadar, în timp ce le treceam în revistă pe toate cu privirea, am observat o coloană mică ce abia se vedea dintre tufişuri şi pe care se afla desenul cu o sferă şi un cilindru.
