3
(x2 + 2. y2 + z2 - 1) - x2z' - Jl y2z' = O
4
80
x2 + y2 + z 2 - z 2 = O
(x2 + y2 + z2 - 4) x = O
Figura 3.13
Figura 3.14
Imaginile din figura 3.12 au fost realizate cu Surfer şi reprezintă cuadrica de ecuaţie bx2 - cy2 - az = 0 şi una dintre suprafeţele introduse de Parent, de ecuaţie
✓ z
=
:x
a�x
Ne putem amuza construind suprafeţe noi, cu aspect ciudat precum cele din figura 3.13, cu respectivele lor ecuaţii.
În 2008, Valentina Galati, elevă de liceu, a realizat cu Surfer o galerie întreagă de suprafeţe foarte frumoase (https://imaginary.org/gallery/valentina-galata) printre care cele două din figura 3.14.
106 FORMA LUCRURILOR
Figura 3.15
Figura 3.16
Fab labe azi un formidabil spaţiu de „creaţie", inclusiv pentru suprafeţe. O imprimantă 3D (figura 3.15) e capabilă să „citească"
ecuaţiile unor suprafeţe, apoi să le realizeze ca obiecte solide din orice fel de materiale: răşini colorate, aur sau chiar ciocolată. Cu doar puţină pregătire tehnică, dar cu bun-gust geometric şi cu un pic de sensibilitate artistică, oricine poate crea obiecte utile şi frumoase, îşi poate traduce ideile în prototipuri sau poate produce bijuterii şi dulciuri speciale.
Figura 3.16 prezintă câteva imagini de obiecte create cu im primanta 3D de la Muzeul Ştiinţelor din Trento sau de Oliver Labs, într-un „magazin on line" ad-hoc: http://math-sculpl ure.
SUPRAFEŢE 10/
corn/. Prima dintre ele e un model al cupolei lui Brunelleschî;"
suprafaţă obţinută prin rotaţia „lănţişorului". Celelalte două
sunt suprafeţe cubice „pentru salon şi ca podoabă".
Suprafeţele mai pot fi descrise şi parametric, ca puncte din spaţiu ale căror coordonate carteziene (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), sunt descrise de funcţiile x(u,v), y(u,v) şi z(u,v) atunci când parametrii u şi v variază continuu. Funcţiile acestea se numesc ecuaţii parametrice ale suprafeţei. Sfera, de exemplu, poate fi descrisă parametric cu latitudinea şi longitudinea: aceşti doi parametri ne fixează poziţia pe globul terestru, primul determinând distanţa faţă de ecuator, al doilea faţă de un meridian fixat (prin convenţie internaţională, cel care trece prin observatorul din Greenwich).
SUPRAFEŢELE CU SINGU LARITĂŢI. RECORDURI
Şi pentru suprafeţe se pot defini punctele singulare şi punctele nesingulare (sau netede). Se pleacă de la consideraţii geometrice, asemănătoare cu cele ale lui Euclid pentru tangenta la un cerc, şi se defineşte planul tangent la suprafaţă într-un punct P ca fiind acel plan care trece prin P şi cu proprietatea că, cel puţin în vecinătatea lui P, nu există vreun alt plan între el şi suprafaţă. Alternativ, planul tangent poate fi definit ca fiind generat de toate dreptele tangente în P la curbele de pe suprafaţă care trec prin P. Dacă acest plan există şi e unic, punctul se numeşte neted, iar planul, tangent.
Dreapta normală la o suprafaţă într-un punct neted e dreapta perpendiculară pe planul tangent în acel punct.
