Dacă suprafaţa e definită printr-o ecuaţie carteziană, putem decide uşor dacă un punct e neted folosind calcule algebrice: e neted dacă şi numai dacă valorile celor trei derivate ale funcţiei în raport cu toate variabilele nu se anulează simultan în acel punct. În acest caz, putem determina uşor şi ecuaţia carteziană
a planului tangent.
108 FORMA LUCRURILOR
Figura 3.17
Imaginile din figura 3.17 , realizate cu GeoGebra3D, arată planul tangent la trei cuadrice în anumite puncte, respectiv la un elipsoid, la un hiperboloid cu o pânză şi la un paraboloid eliptic.
Planele nu au singularităţi. Suprafeţele pot avea singularităţi începând de la gradul al doilea: conul, de ecuaţie x2 + y2 + z2 = O, are o singularitate în origine, după cum se vede în figura 3.18.
În secolul trecut, comunitatea matematică a intrat, mai mult sau mai puţin conştient, într-un fel de competiţie în domeniul singularităţilor. Era vorba de a găsi, printre toate suprafeţele de grad fixat, pe acelea cu numărul maxim de singularităţi. În figura 3. 19 apar „câştigătoarele" primelor categorii (desenate cu Surfer): cubica lui Cayley, cu 4 singularităţi, cuartica lui Kummer, cu 16 singularităţi, cvintica lui Togliatti, cu 31 de singularităţi, şi sestica lui Barth, cu 65 de singularităţi.
Descoperitorii acestor suprafeţe sunt mari matematicieni europeni; al treilea e matematicianul italian Eugenio Giuseppe Togliatti (1890-197 7 ), fratele lui Palmiro, secretarul, timp de mulţi
ani, al Partidului Comunist Italian.
Suprafeţele acestea pot fi realizate cu o
imprimantă 3D şi puse în valoare ca obiecte
decorative în salon (figura 3.20). În realitate, nu e chiar la îndemână, adesea e nevoie să fie imprimate pe porţiuni mici care Figura 3.18
SUPRAFEŢE 109
'
Figura 3.19
treb u ie apoi lipite. Îmi închip u i că sc u lptor u l şi orfevr u l italian Benven u to Cellini a av u t de rezolvat probleme similare când a topit şi apoi l-a asamblat pe Perse u sa u n u meroasele solniţe ornamentale pe care le-a prod u s. Pot fi c u mpărate pe web, deja printate, de exempl u din magazin u l Oliver Labs despre care am pomenit mai s u s.
Figura 3.20
110 FORMA LUCRURILOR
Cât despre suprafeţele de grad
mai mare sau egal cu 7, sunt cunoscute suprafeţe de acest tip cu multe singularităţi, dar încă nu s-a reuşit
găsirea „campioanelor" categoriei.
În 2008, matematiciana italianăAntonella Sarti a descoperit o suprafaţă de gradul 12 cu 600 de noduri (figura 3.21); chiar dacă e o suprafaţă record pentru numărul de sin-
Figura 3.21
gularităţi, tot nu se ştie dacă acesta
e sau nu recordul pentru suprafeţele de gradul 12. Oricum, matematicianul japonez Yoichi Miyaoka a demonstrat că o asemenea suprafaţă nu poate avea mai mult de 645 singularităţi.
DRUMUL CEL MAI SCURT
