Ca să dezvoltăm mai departe
geometria, avem nevoie de câteva
definiţii secundare, conform aceloraşi indicaţii ale lui Euclid pentru plan. Un segment e locul punctelor
de pe un cerc maxim situate între
două puncte numite vârfuri; un triunghi e dat de trei segmente astfel încât fiecare vârf al unui segment e
vârf al încă unuia dintre cele trei
Figura 3.26
segmente şi numai al unuia singur.
Două cercuri maxime care se taie detennină în fiecare punct de intersecţie câte patru unghiuri; pentru noi, un unghi e dat de două cercuri maxime şi de alegerea unuia dintre cele patru. Partea de suprafaţă conţinută între două cercuri maxime care determină un unghi se cheamă lunulă de mărimea (figura 3.26).
Dacă două cercuri maxime coincid, vom spune că unghiul e plat şi că măsura sa este 1t. Aceasta e măsura în radiani; se poate alege şi măsura în grade, anume 180 de grade, dar pentru ce avem noi de făcut e mai bine să lucrăm în radiani. Unghiurile mai mici au măsuri proporţionale.
Observăm că aria lunulei de mărime a e egală cu 4aR2: se vede uşor din teorema lui Arhimede şi din faptul că raportul dintre aria lunulei şi unghiul a e acelaşi ca raportul dintre aria sferei şi n, altfel spus:
Aria 4JTR 2
a
1T
Cu aceste definiţii, putem acum enunţa rezultatul lui Gauss: Teoremă. Aria unui triunghi sferic se obţine înmulţind pătratul razei sferei cu suma unghiurilor interioare din care se scade 1t:
Aria triunghiului = R 2 • ( a + /3 + r -JT) Demonstraţia se obţine citind convenabil figura 3.27.
SUPRAFEŢE
1 1 /
Să observăm că un triunghi
determină trei lunule, câte una
pentru fiecare unghi a, p, y. De asemenea, fiecărui triunghi pe sferă
îi corespunde unul egal, dar antipodal.
Fiecare punct de pe sferă apar
ţine uneia dintre aceste trei lunule; în particular, punctele Figura 3.27
triunghiului şi ale celui antipodal
aparţin tuturor trei lunule, în timp
ce toate celelalte puncte ale sferei aparţin doar uneia dintre lunule. De exemplu, punctul A, respectiv B sau C de pe figură, aparţine doar lunulei definite de unghiul a, respectiv p sau y.
Aşadar, cu cele trei lunule acoperim întreaga sferă, acoperind de trei ori triunghiul şi antipodalul său. În consecinţă, suma ariilor celor trei lunule e egală cu aria sferei la care se adaugă de patru ori aria triunghiului (nu trebuie uitat că aria triunghiului intră de şase ori în aria lunulelor; două dintre ele dau aria sferei, patru sunt în plus).
Punând laolaltă observaţiile precedente într-o formulă, găsim:
41l" R2 + 4 aria triunghiului = 4( a + fJ + r )R2
Simplificând cu 4 şi trecând în dreapta termenul 1f.R. 2 obţinem rezultatul anunţat.
Teorema aceasta reprezintă din multe motive un punct de cotitură în istoria geometriei: probabil că Gauss nu greşea numind-o egregium. Înainte de a discuta câteva dintre importantele sale consecinţe, să-i dăm o formulare mai generală, folosind conceptul de curbură a unei suprafeţe.
CU RBURA U N EI S U PRAFEŢE
Putem defini şi pentru suprafeţe curbura într-un punct nesingular. În cazul curbelor, conceptul acesta permite evaluarea 118 FORMA LUCRURILOR
îndepărtării curbei de tangenta sa într-o vecinătate mică a punctului considerat; la suprafeţe, ne interesează comportarea faţă
de planul tangent.
Îi datorăm lui Euler primele consideraţii generale despre curbura suprafeţelor: în 17 60, apare un tratat cu titlul Recherches sur la courbure des surfaces (Studii asupra curburii suprafeţelor) în care studiază comportarea suprafeţei în vecinătatea unui punct prin intermediul curburii anumitor curbe obţinute ca secţiuni plane. Mai precis, fixat un punct nesingular P pe suprafaţă, Euler consideră toate curbele plane care se obţin intersectând suprafaţa cu plane care trec prin P şi conţin dreapta normală (perpendiculară) în P la planul tangent; aceste curbe se numesc secţiuni normale. Pentru fiecare dintre ele, Euler calculează curbura, k, şi observă că aceasta variază continuu odată cu secţiunea normală. În consecinţă, trebuie să existe (cel puţin) o valoare maximă şi una minimă a lui k, corespunzătoare unor secţiuni normale pe care le numeşte principale.
