Să luăm o porţiune mică de suprafaţă în jurul punctului P; pentru comoditate, să presupunem că vecinătatea e circulară, adică obţinută prin intersectarea suprafeţei cu o sferă de rază
mică centrată în P. Fie A aria acestei mici porţiuni circulare şi fie A ' aria imaginii sale prin aplicaţia lui Gauss. Din cele spuse mai înainte, raportul acestor două arii fumizează o măsură a depărtării suprafeţei de planul tangent.
Gauss a observat că e util să atribuie un semn ( + sau -) ariei A ' în felul următor. Frontiera vecinătăţii circulare e un cerc pe suprafaţă; prin aplicaţia lui Gauss, acestuia îi corespunde un cerc pe sfera unitară. Să parcurgem în sens antiorar cercul de pe suprafaţă şi să observăm cum se mişcă punctul corespunzător de pe cercul de pe sfera unitară: dacă se mişcă tot în sens antiorar, atribuim ariei semn pozitiv, dacă se mişcă în sens orar îi atribuim semn negativ (adică înmulţim A ' cu - 1). Aşadar, semnul depinde de felul în care aplicaţia lui Gauss păstrează
sau nu orientarea.
Figura 3.30 (extrasă din
cartea Differential Geometry of
Curves and Suifaces de Manfredo do Carmo) explică bine cele două cazuri.
Gauss a numit aria A ' cu
semnul + sau - curbura totală a porţiunii de suprafaţă
considerate. A definit apoi
curbura lui S în P (azi numită
Figura 3.30
SU PRAFEIT
l ] I
curbura gaussiană), notată K(P), ca limită a raportului A 1/A când·
porţiunea de suprafaţă considerată se strânge în jurul punctului P.
Se demonstrează apoi că există o legătură între curbura gaussiană şi curburile principale ale lui Euler, anume K= kl • k2
Aşadar, cunoaşterea curburilor principale e mai preţioasă
decât cunoaşterea lui K. Aceasta din urmă ne dă însă o idee despre cât de mult sau de puţin se îndepărtează suprafaţa de planul tangent, iar semnul său caracterizează punctele eliptice, hiperbolice sau parabolice.
Gauss consideră cazul în care porţiunea de suprafaţă e un triunghi geodezic T, adică un triunghi cu laturi formate de segmente de geodezice ale suprafeţei. Să notăm cu a, p, y unghiurile sale interne şi cu A, aria sa. Se poate arăta că imaginea lui Tprin aplicaţia lui Gauss e un triunghi geodezic Tpe sfera unitară, având aceleaşi unghiuri interne.
Să presupunem acum că curbura K e constantă în punctele triunghiului geodezic T; atunci definiţia curburii implică rela
ţia K·Ar = A 'r Pe de altă parte, avem o formulă explicită pentru aria triunghiului geodezic T' de pe sfera de rază 1, anume A 'r·= (a +p + y - 11:), aşadar
K·Ar= (a +p + y - 11:)
Să observăm că, în particular, pentru o suprafaţă cu curbura constantă - I , aria unui triunghi geodezic va fi Ar= (11:-(a +p+ y)). În schimb, dacă curbura e nulă, cum e pe plan, cantitatea (a + P + y-11:) e de asemenea nulă; în acest caz, e adevărată teorema potrivit căreia suma măsurilor unghiurilor interne ale unui triunghi plan e egală cu 11:.
Dacă curbura nu e constantă, membrul stâng al formulei de mai sus se înlocuieşte cu integrala de suprafaţă a curburii pe triunghiul T(care, intuitiv, e suma curburilor în toate punctele lui 7), notată J frK , obţinându-se următoarea formă generală a teoremei lui Gauss: 122 FORMA LUCRURILOR
Teoremă. Fie T un triunghi geodezic pe o suprafaţă S, cu unghiuri interne a, p, y. E valabilă relaţia:
JfrK = (a + ,B + y - JT)
Formula a fost extinsă de Pierre-Ossian Bonnet la cazul unor porţiuni de suprafaţă a căror frontieră nu e neapărat formată de curbe geodezice. Teorema aceasta, care azi e numită Gauss-Bonnet, e probabil rezultatul cel mai profund din teoria suprafeţelor (diferenţiabile) şi are formulări echivalente şi pentru varietăţi de dimensiune mai mare decât 2.
O problemă importantă în teoria suprafeţelor e posibilitatea comparării lor. Le-am putea considera bucăţi de stofă flexibile, dar inextensibile şi am putea vedea dacă pot fi suprapuse în urma unor îndoiri, înfăşurări, desfăşurări, dar fără să le tăiem; eventual, să vedem dacă putem să le suprapunem măcar local, pe bucăţele. Dacă aşa ceva e posibil, spunem că suprafeţele sunt izometrice sau local izometrice. Ideea aceasta apare odată cu Gauss şi e direct legată de probleme de geodezie, adică de măsurarea lungimilor sau ariilor pe suprafaţa terestră. În particular, chestiunea e importantă pentru construcţia hărţilor geografice care presupun reprezentarea suprafeţei terestre pe plan. În acest context, Gauss înţelege că sunt foarte importante acele proprietăţi geometrice ale suprafeţelor care sunt invariante la izometrii, adică se conservă când suprapunem o suprafaţă pe alta prin operaţii precum cele descrise mai sus.
Se conservă, de exemplu, lungimea curbelor de pe suprafeţe, unghiurile şi ariile porţiunilor mici de suprafaţă. Atunci şi noţiunea de curbă geodezică, definită drept curba de lungime minimă, va fi invariantă. La fel, noţiunea de curbură
gaussiană, pentru că e definită ca limită a unui raport de arii; faptul acesta poate părea azi evident, dar e, de fapt, apoteoza care închide teoria. Gauss spune:
Formula itaque art. praec. sponte perducit ad egregium Theorema. Si superficies curva in quamcunque aliam superficem SUPRAFEŢE 123
explica tur, mensura curvaturae in singuli punctis invariaîa manet*.
Curbura unei suprafeţe e invariantă la izometrii locale, afirmă
teorema egregium a lui Gauss.
În particular, rezultă că toate suprafeţele desfăşurabile, pe care le-am introdus mai înainte ca fiind izometrice cu planul, au curbură nulă în orice punct.
Teorema e extrem de importantă şi dacă e citită „negativ": dacă fixăm două puncte pe două suprafeţe cu curburi diferite, e imposibil să construim vreo izometrie locală între orice fel de vecinătăţi ale celor două puncte. Altfel spus, dacă două suprafeţe au curburi diferite, nu le putem desfăşura una pe cealaltă.
