- -
- .=. -
.. _,_
- - -
-=
Figura 3.32
că Groenlanda are o suprafaţă egală cu jumătate din cea a Uniunii Europene, ceva mai puţin de 2 milioane de kilometri pătraţi una, şi 4 milioane cealaltă; pe harta Mercator, Groenlanda pare mai mare decât Uniunea Europeană.
Construcţia lui Mercator se bazează pe câteva idei geometrice interesante şi chiar pe unele cunoştinţe de analiză. Prima idee vine din geometria lui Euclid, în care dacă un triunghi e transformat în altul cu aceleaşi unghiuri, atunci se păstrează
rapoartele lungimilor laturilor corespunzătoare. Două triunghiuri sunt asemenea, sau conforme, dacă unghiurile corespunzătoare sunt egale sau, echivalent, dacă laturile corespunzătoare sunt proporţionale.
La fel, o hartă conformă, care păstrează deci unghiurile, trebuie să păstreze şi rapoartele lungimilor de arce infinitezimale care izvorăsc, în orice direcţie, din puncte aflate în corespondenţă.
Pe globul terestru pe care, pentru simplitate, îl presupunem perfect sferic, putem deci să localizăm două coordonate parametrice: latitudinea, care determină cu o mărime unghiulară (notată t) cât de departe suntem de ecuator, şi longitudinea SUPRAFEŢE 127
care, tot cu o măsură unghiulară (notată [), ne spune cât d�
departe suntem faţă de un meridian fixat - prin convenţie, cel care trece prin observatorul din Greenwich. Amintim că meridianele sunt cercuri maxime care trec prin poli (puncte antipodale fixate), în timp ce ecuatorul e cercul maxim format de punctele echidistante faţă de poli.
Mercator decide întâi că în proiecţia sa meridianele se vor transforma în drepte paralele; mai precis, două meridiane care sunt la distanţa dx pe ecuator vor fi transformate în două
drepte paralele în plan, la distanţă dx una de cealaltă. Proiecţia aceasta se mai numeşte cilindrică, pentru că se obţine proiectând sfera terestră din centrul ei pe cilindrul circumscris.
Pentru a avea proprietatea de conformitate, Mercator cere ca un dreptunghi infinitezimal, adică suficient de mic, să fie transformat prin proiecţie într-un dreptunghi asemenea din plan, cu alte cuvinte, cu laturi proporţionale cu ale celui de plecare. Dacă ne referim la figura 3.33, în care laturile dreptunghiului de pe sferă sunt notate dl şi dt, iar cele ale dreptunghiului plan corespunzător sunt dx şi dy, el cere ca dyldt = dxldl.
Cwn dx e distanţa la ecuator dintre cele două meridiane pe care stau laturile opuse ale dreptunghiului sferic, e evident că
raportul dxldl e egal cu raportul dintre lungimea ecuatorului şi dy
dx
Figura 3.33
128 FORMA LUCRURILOR
lungimea paralelei care trece printr-un punct al dreptunghiului, anwne
dx
21r - --
dl 21r cos(t) cos(t)
Combinând cele două identităţi de mai sus, obţinem o ecuaţie diferenţială care leagă variabilele y şi t:
dy = -l-
dt cos(t)
Ecuaţia asta se poate integra. Găsim soluţia:
y(t) = ln (tg(t) + -1 -)
cos(t)
Corespondenţa care asociază unui punct de pe sferă cu longitudinea / şi latitudinea t un punct din plan cu coordonatele x= I şi
y(t) = ln(tg(t) + -1-)
cos(t)
e aplicaţia conformă numită proiecţie Mercator. Nu e definită
în poli, pentru care latitudinea e n/2, valoare pentru care func
