Gauss e primul matematician care intuieşte existenţa unor geometrii care au toate axiomele şi regulile după care funcţionează echivalente cu cele din geometria euclidiană, cu excep
ţia Postulatului V; le numeşte geometrii neeuclidiene. Nu există
totuşi scrieri explicite ale lui Gauss pe tema asta, doar aluzii în unele scrisori.
Să observăm că, cel mai probabil, pe-atunci, geometria sferică nu era privită cu adevărat ca o geometrie neeuclidiană, poate pentru că există perechile de puncte antipodale prin care trec nu una, ci infinit de multe drepte -cercuri maxime.
Ne putem face o idee despre ce gândea Gauss dintr-o scrisoare către avocatul Taurinus, din 1824:
[ ... ] faptul că suma unghiurilor interne ale unui triunghi nu poate fi mai mică de 180 de grade; acesta e adevăratul nod, bariera de care se lovesc toţi. 1 ... 1 Eu mă gândesc la asta de mai 132 FORMA LUCRURILOR
bine de 30 de ani şi mă îndoiesc că alţii s-ar fi ocupat mai mult decât mine de chestiunea asta. Ipoteza că suma celor trei unghiuri ar fi mai mică decât 180 de grade conduce la o geometrie foarte diferită de a noastră (euclidiană), care e consistentă [ im sich selbst durchaus konsequent ist] şi pe care am dezvoltat-o în mod atât de satisfăcător, încât pot rezolva orice problemă cu excepţia uneia, care priveşte determinarea unei constante care nu pare să fie a priori. Cu cât mai mare se ia constanta asta, cu atât mai mult ne apropiem de geometria euclidiană, iar la infinit, cele două geometrii coincid. Teoremele acestei geometrii ne pot părea paradoxale şi, nespecialiştilor, chiar lipsite de sens 1 ... J. Toate eforturile mele pentru a găsi o contradicţie sau o inconsecvenţă [ Inkonsequenz] internă în această geometrie neeuclidiană au fost zadarnice. [ ... J Ştim de fapt foarte puţin, sau nimic, despre adevărata natură a spaţiului şi riscăm să confundăm ceea ce ne apare ca nenatural cu ceva de-a dreptul imposibil. Dacă
geometria neeuclidiană ar fi geometria adevărată şi dacă
acea constantă ar fi comparabilă cu mărimile pe care le măsurăm pe pământ ori pe cer, atunci ar fi posibil s-o determinăm a posteriori. De aceea, ocazional şi în glumă, am exprimat posibilitatea ca geometria euclidiană să nu fie geometria cea adevărată.
Şi încă, din alte scrisori, de data asta către Bessel (1829-1830): M-am convins apoi de mai multe lucruri, printre care de faptul că nu se poate stabili complet geometria a priori. 1 ••• 1 Trebuie să admitem cu umilinţă că, în timp ce numărul e un produs pur al minţii noastre, spaţiul are o realitate exterioară
minţii noastre, astfel că nu-i putem prescrie legile a priori.
Pe parcursul a peste două mii de ani, mulţi matematicieni au încercat să deducă Postulatul V din precedentele, adică să demonstreze că nu există geometrii neeuclidiene. Sub ochii tuturor, geometria sferică ar fi putut să-i facă să înţeleagă că aşa SUPRAFEŢE 133
D r-------"""\lc ceva nu era posibil; dar, cum arii văzut deja, geometria sferică are
caracteristici care n-o recomandau.
Problema, după cum cerea
A
B Gauss, consta în găsirea unei geo-
metrii pentru care suma unghiuri-
Figura 3.36
lor interne ale unui triunghi să fie
mai mică de 180 de grade. Această
posibilă geometrie va fi botezată, câţiva ani mai târziu, de către Felix Klein, geometrie hiperbolică.
Pionier al acestor studii fusese matematicianul iezuit Giovanni Girolamo Saccheri (1667 -17 33) care în cartea sa, Euclides ah omni naevo vindicatus(Euclid curăţat de orice pată, Milano, 17 3 3), a încercat să demonstreze prin reducere la absurd Postulatul V, presupunând existenţa unui patrulater neobişnuit, azi cunoscut după numele lui. Patrulaterul Saccheri are laturile opuse egale între ele, are două unghiuri adiacente de 90 de grade şi celelalte două unghiuri ascuţite. Altfel spus, e un dreptunghi cu două unghiuri mai mici de 90 de grade (figura 3.36). În geometria euclidiană aşa ceva nu poate exista; ceva similar există
însă, cu unghiuri obtuze, în geometria sferică. Existenţa unui patrulater Saccheri e echivalentă cu existenţa unui triunghi cu suma unghiurilor interne mai mică decât 180 de grade.
Plecând de la existenţa patrulaterului său, Saccheri a dedus în mod logic o serie de consecinţe care i s-au părut inacceptabile, comentând după cum urmează: ,,Ipoteza unghiului ascu
ţit e falsă în mod absolut, pentru că repugnă naturii liniei drepte." De fapt, el dezvoltase o serie de teoreme perfect valide şi coerente în geometria hiperbolică; Girolamo Saccheri vedea şi nu credea!
Şi Nicolai Ivanovici Lobacevski (17 92-1856), contemporan cu Gauss, propune, în 1829, o geometrie imaginară, cu un triunghi dreptunghic în care suma celorlalte două unghiuri e mai mică de 90 de grade. Presupunând universul guvernat de o geometrie de felul acesta, el estimează mărimea sistemului 134 FORMA LUCRURILOR
solar folosind un triunghi dreptunghic cu o catetă de mărimea diametrului orbitei terestre şi cu un vârf opus stelei Sirius.
Obţine estimări foarte bune, chiar dacă foloseşte, din păcate, o valoare greşită pentru paralaxa lui Sirius.
În 183 2, Janos Bolyai (1802-1860), ofiţer în armata austro-ungară şi matematician, publică un tratat despre geometriile neeuclidiene ca apendice al unei cărţi a tatălui său, matematician la rândul lui. Acesta din urmă, speriat de felul excesiv în care fiul se consacrase problemei respective, îi scria la un moment dat: ,,Te implor, fiule, pentru numele lui Dumnezeu, mai lasă paralelele în pace. Trebuie să te temi de ele ca de femei uşoare, pentru că, asemenea lor, îţi pot mânca tot timpul ajungând să-ţi pierzi bunăstarea, liniştea spiritului şi fericirea." Îl prezintă totuşi lui Gauss, care refuză să-l ia ca student, scriind totuşi despre el: Îl consider pe acest tânăr geometru Bolyai un geniu de prim ordin. 1 .. 1 Să-l laud ar fi să mă laud. Pentru că întreg corpul lucrării sale coincide aproape exact cu propriile mele cugetări care mi-au ocupat mintea în ultimii treizeci sau treizeci şi cinci de ani.
A mai fost nevoie de încă nişte ani până să apară modele explicite pentru geometria hiperbolică. Prima contribuţie fundamentală a venit din partea lui Eugenio Beltrami ( 183 5-1900), matematician italian, apoi şi senator al Regatului Italiei, în al său Saggio di interpretazione delia geometria non-euclidea (1868).
lată-i incipit-ul:
În vremea din urmă, publicul matematic a început să se ocupe cu unele concepte noi care, dacă se vor impune, par destinate să schimbe în profunzime întregul ţesut al geometriei clasice. Conceptele acestea nu sunt de dată recentă, imensul Gauss le îmbrăţişase încă de la primii săi paşi în cariera ştiinţifică şi, chiar dacă nici una dintre scrierile lui nu conţine vreo expunere explicită a lor, scrisorile lui stau mărturie pentru predilecţia cu care le-a cultivat întotdeauna şi atestă întreaga sa adeziune faţă de doctrina lui Lobacevski.
SUPRAFEŢE 135
