şi colegul său Felice Casorati, lucrarea matematicianului german Bernhard Riemann (1826-1866) Ipotezele care stau la baza geometriei (pe care o vom trata pe larg în capitolul următor).
Aici voi nota doar că Beltrami foloseşte articolul lui Riemann pentru obiectivele sale, scriind o a doua lucrare cu titlul Teoria fundamentală a spaţiilor cu curbură constantă care apare, ca şi primul său studiu, în 1868.
Consideră semisfera din spaţiul obişnuit, adică punctele sferei.x2 + y2 + z2 = I cu ultima coordonată pozitivă,z>O. Urmând indicaţiile lui Riemann, introduce un mod de a măsura distan
ţele din spaţiu diferit de cel uzual. Consideră ceea ce se cheamă
o metrică Riemann care nu e plată. O să vedem în detaliu conceptul de metrică; aici, spun doar că dacă ds indică o porţiune infinitezimală a unui segment spaţial, iar dx, dy, dz proiecţia aceleiaşi porţiuni pe direcţiile carteziene, atunci lungimea sa nu e, aşa cum ar cere teorema lui Pitagora, ✓ dx2 + dy2 + dz 2 , ci
✓ dx2 + dy2 + dz 2
z
Folosind această măsură a lungimilor, frontiera semisferei, dată de intersecţia ei cu planul z = O, e infinit de îndepărtată
de punctele interioare. În plus, curbele care se obţin intersectând semisfera cu plane verticale de ecuaţie ax + by + c = O sunt geodezice, adică sunt curbe de lungime minimă (figura 3.40).
Pentru a demonstra acest fapt, Beltrami nu se poate baza pe metode experimentale, ca metoda ţăruşilor ori cea a firului întins. Distanţa nu e cea standard, ci aceea abstractă propusă de Riemann, aşa că, lucrând abstract şi foarte atent, Beltrami determină ecuaţia diferenţială a geodezicelor şi probează că acele curbe descrise mai sus sunt soluţii, deci
sunt efectiv geodezice.
Aceste curbe verifică toate celelalte proprietăţi ale dreptelor din plan. Într-adevăr, e evident că prin
Figura 3.40
orice două puncte de pe emisferă
138 FORMA LUCRURILOR
trece o singură curbă de acest tip,
pentru că există un unic plan vertical prin două puncte date. Apoi, cum frontiera emisferei e la distanţă infinită de orice punct, deplasându-ne pe geodezică nu ajungem niciodată
la frontieră; astfel, aceasta se prelungeşte fără soluţie de continuitate la Figura 3-41
infinit, şi suprafaţa e completă.
În această geometrie, date o dreaptă şi un punct exterior ei, există infinit de multe drepte prin acel punct care sunt paralele cu dreapta de plecare (adică nu o intersectează): într-adevăr, dreapta dată e definită de un plan vertical, deci e suficient să luăm toate planele verticale prin punctul dat care-l intersectează pe cel iniţial în afara sferei unitare.
În plus, suma unghiurilor interne ale unui triunghi geodezic e mai mică decât n, după cum se vede în exemplul din figura 3.41.
Beltrami construieşte astfel primul model pentru geometria hiperbolică, model scufundat în spaţiul obişnuit, dar cu o metrică diferită de cea standard. Merge mai departe, derivând alte două modele echivalente şi chiar generalizând aceste modele ale geometriei hiperbolice la dimensiuni mai mari.
Primul model echivalent se obţine pur şi simplu proiectând (vertical) semisfera şi geodezicele ei pe discul unitar din planul z = O; obţine aşa discul hiperbolic, reluat apoi de Felix Klein (figura 3.42).
Figura 3.42
SUPRAFEŢE 139
············ � ······
Figura 3.43
În acest caz, ambientule un disc de rază 1, cu o distanţă diferită
de cea euclidiană, care face ca lungimea segmentelor să crească cu cât ne îndepărtăm de centru către frontieră. Geodezicele sunt corzi; nefiind posibil să ajungem la frontieră în timp finit, corzile pot fi gândite ca având lungime infinită, deci suprafaţa e completă.
Se pot apoi proiecta emisfera şi geodezicele din punctul (1 ,0,0) pe planul tangent la sferă în punctul ( - 1,0,Q) (e o proiec
ţie stereografică a unei jumătăţi de sferă), obţinând astfel semiplanul hiperbolic, reluat apoi de Henri Poincare (figura 3.43). În acest caz, ambientul e semiplanul superior, adică toate punctele planului cu a doua coordonată pozitivă, cu o distanţă diferită de cea euclidiană, una care face ca lungimea segmentelor să crească
cu cât ne apropiem de marginea semiplanului. În acest spaţiu, geodezicele sunt semidrepte perpendiculare pe frontieră şi semicercuri cu centrul pe frontieră; suprafaţa e completă pentru că, la fel ca înainte, nu e posibil să ajungi la margine în timp finit.
Klein şi Poincare şi-au disputat aprig paternitatea acestui model de geometrie hiperbolică; primul a ajuns la epuizare nervoasă şi s-a retras din matematica activă. Pe de altă parte, amândoi s-au ferit să citeze contribuţia şi paternitatea originară a lui Beltrami. Abia într-un articol din 1 982, matematicianul american John Milnor reevaluează şi scoate la lumină
contribuţia lui Beltrami*.
