Beltrami consideră suprafeţe cu
curbură gaussiană constantă şi, folosind formula lui Gauss, K·A = (a + p + y - n), intuieşte că o
r
geometrie hiperbolică, în care
suma unghiurilor interne e mai
mică decât n, se poate realiza pe o
suprafaţă de curbură negativă.
Studiază întâi o suprafaţă care
se obţine prin rotaţia curbei trac-
Figura 3.37
trice în jurul asimptotei sale (am
dat definiţia în capitolul 2, vezi figura 2.26): e o suprafaţă cu curbură constantă negativă, motiv pentru care e numită pseudosferă (figura 3.3 7).
Pseudosfera are două defecte evidente care nu-i permit să
concureze la titlul de model pentru o geometrie neeuclidiană.
În primul rând, are o gaură: în topologie se spune că nu e simplu conexă, deci seamănă mai mult cu un cilindru decât cu un plan.
Dar, mai ales, nu e completă, adică geodezicele sale nu pot fi prelungite la infinit, se întrerup pe cercul care e frontiera bazei. Figura 3.38 înfăţişează o pseudosferă cu câteva geodezice (construită de M. Luminati).
Pentru a evita problema, Beltrarni construieşte o suprafaţă
care acoperă pseudosfera, un fel de acoperire cu straturi succesive lipite între ele, care se apropie mereu de frontieră, dar nu ajung niciodată la ea. Suprafaţa asta are în
continuare curbură negativă, dar e
simplu conexă şi completă, fiind deci
un model bun pentru geometria hiperbolică. Beltrarni chiar alătură lucrării sale teoretice construcţii din hârtie ale acestei suprafeţe; aceste
căşti ale lui Beltrami sunt încă păstrate la Departamentul de Matematică al
Figura 3.38
Universităţii din Pavia (figura 3.39).
136 FORMA LUCRURILOR
Figura 3.39
Studiul lui Beltrami e destul de complex, iar marele matematician Luigi Cremona, editor al revistei Annali di Matematica, îi va întârzia publicarea cu un an, considerând că unele argumente nu erau suficient justificate şi se bazau pe raţionamente circulare.
E momentul să prezentăm cititorului un fapt surprinzător, care confirmă în oarecare măsură temerile lui Gauss atunci când scria că „spaţiul are o realitate exterioară minţii noastre, astfel că nu-i putem prescrie legile a priori".
În lucrarea Asupra suprafeţelor de curbură gaussiană constantă*, matematicianul David Hilbert (1862-1943) demonstrează următorul rezultat: Teoremă. În spaţiul euclidian, nu există nici o suprafaţă cu curbură constantă negativă care să fie completă.
Pentru a construi un model al geometriei hiperbolice complet, cu geodezice infinite, trebuie deci să ieşim cumva din spaţiul nostru obişnuit. Înţelegem acum de ce a fost nevoită geometria hiperbolică să aştepte atât de mult până să „se nască" în mintea umană.
În anul pe care-l petrece aşteptând un răspuns pozitiv de la Luigi Cremona, Beltrami studiază, împreună cu prietenul
* Uber Flăchen von konstanter Kriimmung, Trans. Amer. Math. Soc. 2
(1901), 87-99. (N. tr.)
SUPRAFEŢE 137
