* John W. Milnor, Hyperbolic geometry: Thefirst 150 years, Bull. Amer.
Math. Soc. (N.S.) voi. 6, nr. I (1 982), 9-24. (N. tr.) 140 FORMA LUCRURILOR
4. Geometria din zilele noastre
O LECŢIE ACADEMICĂ
În 10 iunie 1854, matematicianul german Friedrich Bemhard Riemann ( 1826-1866) ţine o prelegere la Facultatea de Filozofie din Gotingen, care înglobează şi Departamentul de Matematică, în prezenţa întregului corp academic şi a profesorului Gauss în calitate de examinator. Prelegerea era intitulată Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Asupra ipotezelor care
stau la baza geometriei) şi făcea parte din procedura de abilitare necesară pentru obţinerea calificării de profesor într-o universitate germană. Procedura e încă în vigoare în Germania şi, de câţiva ani încoace, a fost reintrodusă şi în Italia. Textul prelegerii a fost publicat postum, în 1867 , de matematicianul Richard Dedekind-Riemann murise de tuberculoză la 40 de ani, în 1866, la Verbania, pe malul lacului Maggiore, când se întorcea dintr-o călătorie la Pisa.
Riemann are 28 de ani când îşi susţine abilitarea şi redactase deja două disertaţii fundamentale. Prima e teza de doctorat din 1851, cu titlul Bazele unei teorii generale a funcţiilor de o variabilă
complexă, scrisă sub îndrumarea lui Gauss. În referatul de acceptare, acesta sublinia „profunzimea şi subtilitatea cercetării realizate de o minte matematică creativă, activă şi dotată cu o originalitate excepţional de fertilă". A doua este lucrarea care deschidea procedura de abilitare, scrisă în 1835, cu titlul Despre
reprezentarea funcţiilor cu ajutorul seriilor trigonometrice.
Două lucrări extrem de originale şi de inovative care vor determina progresele viitoare ale matematicii până în zilele noastre.
GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 141
Conform regulamentului, candidatul trebuie să prezinte"'"
trei teme pentru prelegere; celor două deja menţionate, Riemann le adaugă o temă generică despre elementele de bază ale geometriei. În ciuda unei tradiţii bine înrădăcinate, Gauss nu alege primul subiect şi trece direct la al treilea - de care, de altfel, se interesa el însuşi de mulţi ani. Îngrijorat pentru că
era nevoit să înceapă o nouă cercetare dificilă, chinuit şi de greutăţile unei situaţii materiale precare, Riemann trece printr-o perioadă de epuizare nervoasă. Reuşeşte s-o depăşească, şi în şapte săptămâni e pregătit să ţină expunerea.
O sală plină cu profesori ai Universităţii din Gottingen, cea mai prestigioasă universitate din Germania acelui timp, având sarcina să examineze capacităţile ştiinţifice şi didactice ale viitorului cadru didactic - iată, cu siguranţă, un public extrem de respectabil. Faptul că nu toţi erau profesori de matematică
era o complicaţie în plus. Să explici matematica în lipsa formulelor e ca şi cum te-ai duce să joci tenis fără rachetă!
În ciuda acestei situaţii, prin multe aspecte neobişnuită şi dificilă (sau poate tocmai din acest motiv), Riemann a pregătit un text revoluţionar şi vizionar, unul dintre cele mai importante care s-au scris vreodată în matematică, text care a avut repercusiuni enorme inclusiv în fizică şi filozofie. Studiat de generaţii de cercetători, primii fiind cei din Gottingen, dar apoi, treptat, din toată Europa, a dat naştere unei puternice teorii geometrice numite geometrie diferenţială sau geometrie riemanniană, capabilă
să înglobeze multe dintre noutăţile ştiinţifice contemporane.
Printre ele, teoria relativităţii generale a lui Einstein care, rară
lecţia inaugurală a lui Riemann, nu ar fi putut fi concepută.
Nu e uşor să prezinţi ideile conţinute în acest text, care sunt exprimate în germană cu cuvinte folosite pentru prima dată în matematică şi care, în secolul următor, au devenit limbajul comun al geometrilor, inclusiv prin traduceri literale în multe limbi. Ne aflăm în faţa unuia dintre acele momente cruciale în care ideile devin cuvânt, logos, şi în cursul acestei deveniri 142 FORMA LUCRURILOR
capătă o valoare de cunoaştere stabilă şi transferabilă. Din toate aceste motive voi încerca, pe cât posibil, să urmez cuvintele lui Riemann, adăugând comentarii şi interpretări care sunt azi universal acceptate; în unele locuri voi reda în paranteză cuvintele germane originale.
Prelegerea începe cu un Prolog. Planul studiului.
După cum se ştie în geometrie, atât noţiunea de spaţiu, cât şi primele noţiuni fundamentale pe care se bazează construcţiile în spaţiu sunt presupuse ca fiind de la sine înţelese. Geometria dă numai definiţii nominale ale lor, dar ceea ce formează caracterul lor esenţial apare sub formă de axiome. Relaţiile dintre aceste ipoteze rămân astfel aproape ascunse şi se poate să nu rezulte clar dacă aceste relaţii sunt necesare şi în ce măsură, nici dacă, a priori, ele sunt posibile.
Aceste probleme nu au fost lămurite începând de la Euclid şi nici de Legendre - ca să nu-l numesc decât pe cel mai renumit dintre cei care s-au ocupat recent cu dezvoltarea geometriei-nici de matematicienii, nici de filozofii care le-au studiat.*
Două lucruri sunt de reţinut aici: primul e că, în bună măsură, nu se ştie ce sunt axiomele şi postulatele geometriei euclidiene; sunt date, dar rămân în întuneric. Al doilea e că nu e limpede dacă ele sunt sau nu consistente, adică dacă sunt posibile. Riemann decide să nu se aventureze în aprofundarea acestor chestiuni, observând că nici unul dintre matematicienii care l-au precedat, de la Euclid la contemporanul Legendre, nu a ajuns la soluţii convenabile, deci nu aceasta e direcţia corectă în care ar trebui să se îndrepte.
Cauza acestei stări de lucruri constă desigur în aceea că
noţiunea generală de mărime cu mai multe dimensiuni
* B. Riemann, Ipotezele care stau la baza geometriei, trad. de E. Gergely, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1 963. (N. tr.)
GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 143
[ mehifach ausgedehnter Grăssen]*, în care se încadrează şi mărimile spaţiale, a rămas cu totul necercetată. De aceea, mi-am propus mai întâi să construiesc noţiunea de mărime cu mai multe dimensiuni, cu ajutorul noţiunilor generale de mărime. În acest caz rezultă că o mărime cu mai multe dimensiuni poate să aibă mai multe relaţii metrice [eine mehifach ausgedehnte Grăsse verschiedener Massverhăltnisse fahig ist] şi că, deci, spaţiul formează numai un caz particular de mărime cu trei dimensiuni.**
Aşa că Riemann se hotărăşte să studieze conceptul de mărime multiplu extinsă pe care, poate, azi l-am putea traduce mai bine ca mărime multidimensională. Observă că un obiect multidimensional poate fi măsurat în felurite moduri; spaţiul (acela pe care îl considerăm în mod normal, anume spaţiul euclidian) fiind doar un caz particular de mărime tridimensională.
De aici însă decurge ca o consecinţă necesară că teoremele geometriei nu se pot deduce din noţiunile generale despre mărimi, dar că proprietăţile prin care spaţiul se deosebeşte de celelalte mărimi tridimensionale posibile pot fi aflate numai prin experienţă. Se pune, prin urmare, problema de a căuta datele cele mai simple din care să se poată deduce rela
ţiile dimensionale [relaţiile metrice] ale spaţiului, o problemă
care prin natura sa nu este complet determinată, deoarece se pot concepe mai multe sisteme de date simple suficiente pentru determinarea relaţiilor dimensionale ale spaţiului, dar cel mai important pentru scopul urmărit de noi este acela pe care s-a bazat Euclid. Faptele acestea nu sunt necesare, ci au doar certitudine empirică, adică sunt ipoteze. Aşadar, se poate cerceta probabilitatea lor - care, de altfel, este foarte
* Literal, mărime multiplu extinsă. (N. tr.)
