Valorile respective, notate k1 şi k2, se numesc curburi principale.
Euler demonstrează că cele două curburi principale determină curbura oricărei alte secţiuni normale prin formula
k = cos20k 1 + sin 2 0k 2
unde 0 e unghiul pe care secţiunea normală respectivă îl formează cu prima secţiune normală principală.
Curburile principale în orice punct al planului sunt identic nule; printr-un punct al sferei, curburile principale sunt toate egale cu inversul razei sferei (pentru că secţiunile normale sunt cercuri maxime).
Comportarea suprafeţei faţă de planul tangent într-o vecinătate a punctului depinde de valorile lui k şi deci de k1 şi de k2• De exemplu, dacă k1 şi k2 au acelaşi semn, atunci toate curburile secţiunilor normale au acelaşi semn şi suprafaţa stă
cu totul de o aceeaşi parte a planului tangent; în acest caz, punctul respectiv se zice eliptic. Un caz special de punct eliptic e acela în care k1 = k2, deci toate curburile normale sunt egale; SUPRAFEŢE 119
punctele acestea sunt numite omtrilicale (figura 3.28). Sfera şi planul au toate punctele ombilicale*. Dacă au
semne opuse, atunci unele secţiuni
normale au concavitatea orientată
de o parte a planului tangent, altele
de cealaltă parte, deci suprafaţa e traversată în punctul P de planul tangent; un astfel de punct se zice
hiperbolic(figura 3.29). Dacă una din-Figura 3.28
tre cele două curburi principale e
nulă, punctul se numeşte parabolic;
e cazul punctelor unui cilindru, ale
unui con, şi în general, al punctelor
unei suprafeţe desfăşurabile.
Gauss propune o altă abordare a
problemei, una foarte originală. Influenţat probabil de felul în care în astronomie întreaga boltă cerească
e reprezentată pe o emisferă (cum
vedem în planetarii), el a introdus o
corespondenţă între punctele suprafeţei şi punctele unei sfere de rază 1
(sfera unitară), corespondenţă pe
Figura 3-29
care azi o numim aplicaţia lui Gauss.
Dat un punct P pe suprafaţă, consideră normala la suprafaţă prinP; aceasta determină o direcţie**, deci un punct pe sfera unitate pe care-l vom nota N(P) - acesta e punctul corespunzător prin aplicaţia lui Gauss.
În cazul unui plan din spaţiu, direcţia normală e aceeaşi în fiecare punct, deci toate punctele sunt trimise de aplicaţia lui
* Mai mult, se poate arăta că sfera şi planul sunt singurele suprafeţe conexe care au toate punctele ombilicale. (N. tr.)
** E important să fixăm şi un sens pe normală, de exemplu să considerăm întotdeauna normala exterioară suprafeţei. (N. tr.) 120 FORMA LUCRURILOR
Gauss într-un acelaşi punct al sferei. În cazul sferei, aplicaţia lui Gauss e identitatea, deci va acoperi întreaga sferă unitară
când punctul variază.
Observaţiile de mai sus sugerează că cu cât se îndepărtează
mai puţin suprafaţa de planul tangent într-o vecinătate a punctului considerat, cu atât mai mică va fi porţiunea de sferă
acoperită de imaginea aplicaţiei lui Gauss.
