puncte şi să observăm că aceasta se aşază de-a lungul unui cerc maxim. Ca să aflăm ruta zborului Milano-Los Angeles, întindem pe mapamond un fir între aceste două oraşe: vom descoperi că cercul maxim trebuie să treacă pe deasupra Islandei şi a Groenlandei. Piloţii şi, mai ales, sistemele automate de navigaţie, sunt familiarizaţi cu geodezicele globului terestru ...
Pe un cilindru, geodezicele sunt curbe care, atunci când cilindrul e desfăşurat pe plan, devin segmente de dreaptă; de exemplu, elicele circulare, ca în figura 3.23.
În general, pe o suprafaţă desfăşurabilă, geodezicele sunt curbe care devin segmente de dreaptă când suprafaţa e desfă
şurată pe plan.
Pe o suprafaţă de rotaţie, obţinută rotind o curbă plană în jurul unei axe de rotaţie, distingem două tipuri de curbe speciale: meridianele, obţinute intersectând cu un plan care trece prin axa de rotaţie; şi paralelele, obţinute intersectând cu un plan perpendicular pe axa de rotaţie. Meridianele sunt geodezice. În schimb, nu toate paralelele sunt geodezice, ci numai acelea care se obţin din rotaţia
punctelor de pe curba generatoare în care vectorul tangent
�-------� la ea e paralel cu axa de rotaţie.
Pe sferă, ecuatorul e unica pa-
Figura 3-23
ralelă geodezică.
114
FORMA LUCRURILOR
În figura 3.24, sunt geodezice meridianul m şi paralelele prin punctele P 1, P 2• P 3• dar nu şi cel prin P 4_
Pe o suprafaţă (completă),
curbele geodezice sunt echi-
valentele dreptelor de pe plan:
Figura 3-24
satisfac aceleaşi caracteristici
pe care Euclid le impunea unei drepte. Într-adevăr, fiind curbe, sunt lungimi lipsite de lărgime (Definiţia 2 a lui Euclid), iar ca geodezice stau la fel faţă de punctele lor (Definiţia 4). Prin orice două puncte suficient de apropiate trece o geodezică şi numai una singură (Postulatul 1). Ipoteza asupra apropierii punctelor e necesară: gândiţi-vă la geodezicele sferei: dacă punctele sunt
antipodale (un punct P de pe sferă se numeşte antipodal faţă de Q dacă dreapta PQ trece prin centrul sferei), prin ele trec o infinitate de cercuri maxime. Dacă nu sunt antipodale, atunci există un singur plan care trece prin ele şi prin centrul sferei, acesta determinând geodezica prin cele două puncte.
În fine, faptul că orice geodezică poate fi prelungită la infinit (Postulatul 2) nu e întotdeauna adevărat, ci depinde de suprafaţa pe care stă geodezica: suprafaţa trebuie să fie completă, adică închisă şi fără frontiere care s-o întrerupă. Planul şi sfera sunt complete.
TEOREMA „EGREGIUM" A LUI GAUSS
Multă vreme, suprafeţele erau gândite ca înveliş al unui corp solid: Leonhard Euler vorbeşte încă despre De supe,jiciebus corporum şi despre De solidis quorum supe,jiciem in planum explicitare licet.
Cel care dezvoltă mult conceptul de suprafaţă e Carl Friedrich Gauss, Princeps mathematicorum(prinţul matematicienilor). Prin rezultatele fundamentale şi surprinzătoare pe care SUPRAFEŢE 115
le-a demonstrat, el a creat un domeniu de studiu autonom îh interiorul geometriei modeme. În Disquisitiones generales circa superfices curvas (Cercetări generale privind suprafeţele curbe, Gi:ittingen, Typis Dieterichianis, 1828), el vorbeşte despre suprafeţe non tamquam limes solidi, sed tamquam solidum cuius dimensio una pro evanescente habetur (nu ca limite ale unor corpuri solide, ci ca nişte corpuri solide la care una dintre dimensiuni dispare).
Gauss era un savant deloc modest şi se considera cel mai mare matematician al vremurilor modeme; în schimb, îl vedea pe Arhimede drept cel mai important matematician al Antichităţii. La fel ca acesta din urmă, avea preferinţe printre rezultatele sale şi se pare că era deosebit de mândru de un rezultat pe care chiar l-a numit egregium (important). Chiar şi azi, acest rezultat e numit, poate un pic ironic, teorema egregium; admite formulări diferite, mai mult sau mai puţin generale, inclusiv în dimensiuni mai mari.
Se povesteşte că Gauss i-ar fi expus principelui Saxoniei versiunea cea mai elementară a acestei teoreme, anume cea privind suprafaţa sferei, cu scopul de a-i permite acestuia să
calculeze cu exactitate întinderea posesiunilor sale. Principele l-a recompensat pe măsură; apoi a fost şi imortalizat pe bancnota germană de 10 mărci (figura 3.25; observaţi, pe revers, triangularea ducatului Hanovrei).
Să definim întâi obiectele şi contextul teoriei noastre pe care o vom numi geometrie sferică. Să presupunem că vom lucra pe o sferă de rază R şi că suntem constrânşi să rămânem pe suprafaţă, adică nu putem nici să
zburăm, nici să săpăm tuneluri.
În acest ambient geometric,
dreptele, adică curbele geodezice care satisfac postulatele lui Euclid pentru drepte, sunt cercurile maxime - după cum am văzut în paragraful precedent.
Figura 3.25
116 FORMA LUCRURILOR
