Propoziţia aceasta implică:
Propoziţia 1 O. Orice con e a treia
parte din cilindrul cu aceleaşi bază
şi înălţime.
V
I . b . � �1 .
con = 3ana aze1 . ma ţ1mea
Calculul volumului sferei se obţine
subîmpărţind sfera în multe conuri
Figura 3- 10
cu baza pe suprafaţa sferei şi cu
vârful în centrul sferei, ca în figura
3.10. Volumul sferei e egal cu suma volumelor tuturor conurilor care o acoperă:
V(r) = suma după toate conurile(½ aria bazei • r)
1 . &, •
1 4 2
4 3
= - ana s1ere1 • r = - trr • r = - trr
3
3
3
Mulţi ani mai târziu, Galilei redemonstrează această formulă folosind un raţionament uşor diferit, cunoscut azi sub numele de castronul lui Galilei*.
Arhimede consideră şi alte suprafeţe, cum ar fi acelea obţinute prin rotaţia unei conice în jurul unei axe ale sale, pe care azi le numim cuadrice- vedem două exemple în figura 3.11.
Hiperboloid cu o pânză
Elipsoid
Figura 3.11
* Scodella în original. (N. tr.) 104 FORMA LUCRURILOR
ŞI SUPRAFEŢELE SE DESCRIU CU AJ UTORU L ECUAŢIILOR
În secolul XVIII apare conceptul de ecuaţie a unei suprafeţe, în direcţia indicată de Descartes pentru curbe. O ecuaţie de tipul fl..x,y,z) = O, undefl..xJl,z) e o funcţie de trei variabile, presupusă
suficient de regulată, de exemplu polinomială, oricum continuă şi derivabilă în raport cu fiecare dintre variabile. Funcţia stabileşte o legătură între coordonatele carteziene (x,y,z) ale unui punct din spaţiu ce caracterizează punctele suprafeţei.
Când/ e un polinom, suprafaţa se numeşte suprafaţă algebrică, iar gradul polinomului se numeşte gradul suprafeţei.
Unplanedatdeoecuaţieliniară, deexemplu3x-2y+z-2=0; planele sunt suprafeţe de gradul 1. Sfera cu centrul în origine şi raza r are ecuaţia x2 + y + z2 -r2 = O; are gradul 2 şi e o cuadrică.
Matematicianul francez Antoine Parent a fost printre primii care au studiat suprafeţele folosind ecuaţiile, folosind deci forţa algebrei. Problema vizualizării unei suprafeţe date printr-o ecuaţie e mai grea decât în cazul curbelor. Se încearcă rezolvarea ei fie desenând o proiecţie a suprafeţei pe un plan, fie cu modele concrete din ceară sau din alt material maleabil.
Tehnologia digitală de azi e foarte utilă; de exemplu, putem folosi modul 3D al GeoGebra sau programul Surfer (se obţine, cu instrucţiuni şi exemple, de pe pagina https:/ /imaginary.org/
program/surfer).
Figura 3.12
SUPRAFEŢE 105
