Din figura 3.5 se inspira până de curând şi logoul Uniunii Matematice Italiene (figura 3.6).
Să dăm o demonstraţie acestei teoreme, una în spiritul lui Arhimede; vrem să demonstrăm că suprafaţa sferei e egală cu suprafaţa laterală a cilindrului circumscris. Tăiem cilindrul cu plane orizontale (deci paralele între ele), obţinând nişte gulere, atât pe sferă, cât şi pe cilindru (vezi figura 3.7 ).
Suprafeţele sferei şi cilindrului sunt sumele suprafeţelor gulerelor obţinute feliind întreaga sferă. Atunci ne va fi suficient să demonstrăm că aria unui guler de pe sferă e egală cu aria gulerului corespunzător de pe cilindru.
Să aproximăm gulerul sferic cu gulerul conic ce are ca generatoare segmentul tangent la sferă; luând felii din ce în ce Rgura 3.6
Rgura 3.7
102 FORMA LUCRURILOR
mai înguste, aproximarea aceasta se
justifică cu principiul exhaustiei.
Aria gulerului cilindric e 2rcr·h ;
în notaţiile figurii 3.8, obţinută ca
secţiune cu un plan care trece prin
axa cilindrului, aria gulerului conic
e 2ru·d. Cele două cantităţi sunt egale dacă r·h =s·d.
Dar cele două triunghiuri din fi
Figura
gura 3.8 sunt asemenea, deci au latu3.8
rile omoloage proporţionale, anume
r s
d h
adică exact ce voiam!
Arhimede mai spune că volumul cilindrului circumscris e o dată şi jumătate cât volumul sferei. Notând cu V(r) volumul sferei de rază r, am avea deci
f v(r) = 2r - 1rr2, adică V(r) = �1rr3
Pentru demonstraţia acestei formule, vom folosi cele două
rezultate despre piramidă şi con menţionate de Arhimede şi atribuite lui Eudoxos, care se găsesc în Cartea a XII-a din Elemente.
Propoziţia 7 . Orice prismă cu baza triunghiulară se împarte în trei piramide egale între ele şi având baza triunghiulară.
De aici urmează în mod evident că orice piramidă e a treia parte dintr-o prismă care are aceeaşi bază şi aceeaşi înăl
ţime cu piramida.
Demonstraţia e evidentă dacă ne uităm la figura 3.9 care arată modul în care prisma triunghiulară poate fi
împărţită în trei piramide. Oricare
două dintre aceste piramide au baza
şi înălţimea egale, chiar dacă alegerea bazei depinde de cele două piramide pe care vrem să le comparăm.
Figura 3.9
SUPRAFEŢE 103
