I n nedescrescătoare, şi o limită su-
,
perioară, C necrescătoare, în aşa
n,
fel încât, pentru nişte numere n
convenabil alese, diferenţa (sau ra-
portul) C - I ( C : /) să poată fi fă-
n
n
n 11
cută mai mică decât orice mărime
dată (mai mic decât raportul oricăror două mărimi date).
De exemplu, cu metoda exhaustiei se poate demonstra că aria Figura 3.3
unui cerc de rază r, A(r), e proporţională cu pătratul razei: A(r) = constantăxr2. Figura 3.3 ne arată
cum trebuie să procedăm, aproximând circumferinţa cu poligoane regulate înscrise şi circumscrise.
Fie P (r)cP
'r)c ... şirul de poligoane interioare şi
1
i(r)cP3
Q (r)::::>Q (r)::::>Q 'r)::::> ... şirul poligoanelor exterioare; fiecare po
1
i
3
ligon are de două ori mai multe vârfuri decât cel dinainte, vârfurile noi fiind obţinute împărţind în două părţi egale fiecare unghi la centru dintre vârfurile adiacente din poligonul anterior.
Dacă i e destul de mare, diferenţa dintre ariile poligoanelor exterioare şi interioare, Q;(r) - P;(r), poate fi făcută oricât de mică; aşadar, pentru i mare, P;(r) aproximează oricât de bine aria cercului A(r).
Aria unui poligon regulat cu n laturi înscris într-un cerc de rază r e proporţională cu pătratul razei, r2, constanta de propor
ţionalitate depinzând numai de n ; într-adevăr, poligonul e format din n triunghiuri isoscele cu laturile egale de lungime r.
Dacă luăm două cercuri de raze r şi r ' şi notăm cu P;(r), respectiv P;(r) şirurile de poligoane interioare unuia şi celuilalt, vom avea relaţia P;(r):P;(r ) = r2:r '2_
Să presupunem acum, prin absurd, că A(r):A(r)<r2:r'2. Rezultă că, dacă ie suficient de mare, vom avea şi P;(r):P;(r )<r2:r '2, dar relaţia aceasta contrazice afirmaţia dinainte. Exact la fel se arată că şi inegalitateaA(r):A(r)>r2:r'2 conduce la contradicţie.
Trebuie deci să fie adevărată egalitatea
A(r):A(r) = r2:r '2
SUPRAFEŢE
99
În 1706, matematicianul William Jones a propus simbolul "'"
1t pentru notarea constantei de proporţionalitate şi a scris, pentru prima oară, celebra formulă
A(r) = 1tr2
Asemănător, folosind aceleaşi poligoane, se poate arăta că
