Figura 2.32
92
FORMA LUCRURILOR
Într-un Jab lab, curbele încep să facă parte din ce în ce mai mult din educaţia şi din instrumentele tehnologice care înso
ţesc modul nostru de acţiune.
Figura 2.32 prezintă câteva imagini de obiecte create cu cutterul laser la MUSE, Muzeul de Ştiinţe din Tren to.
3. Suprafeţe
Definiţia care urmează, preluată din Enciclopedia Treccani, surprinde bine sensul comun al suprafeţei: învelişul unui corp, sau elementul care separă regiunea din spaţiu ocupată de corp, de aceea neocupată de corp. Sau, dacă
ne referim la anumite corpuri, faţa externă. De exemplu, suprafaţa unui fruct, sau a corpului uman; în alt sens, suprafaţa internă a unui vas. O suprafaţă poate fi gândită ca fiind mai mult sau mai puţin plană şi având două dimensiuni.
În matematică, definiţia se formează prin abstractizarea noţiunii intuitive de înveliş al unui corp, având caracteristicile unei folii considerate lipsită de grosime. Sau, dacă ne referim la modul prin care se obţine: se defineşte, de exemplu, suprafaţa de rotaţie (sau de revoluţie, sau rotundă) ca suprafaţa generată de o curbă care se roteşte în jurul unei drepte (axa).
A avea două dimensiuni şi a fi „mai mult sau mai puţin plană"
sunt caracteristici dificil de definit în matematică şi, după cum vom vedea, necesită o doză substanţială de abstractizare.
Să plecăm iarăşi de la Elemente şi să vedem ce propune Euclid în Cartea I.
Definiţia 5. O suprafaţă e ceea ce are lungime şi lărgime.
Definiţia e destul de criptică şi vrea probabil să spună că suprafaţa are două dimensiuni, dar fără să specifice ce trebuie înţeles prin lungime şi prin lărgime.
94
FORMA LUCRURILOR
Continuă apoi cu definiţiile unor suprafeţe particulare, cum sunt planul, conul, cilindrul şi sfera.
Pentru plan, Euclid foloseşte o definiţie foarte asemănătoare Definiţiei 4
a dreptei:
Flgura 3.1
Definiţia 7. O suprafaţă plană e aceea care stă la fel faţă de dreptele pe care le conţine (figura 3.1).
O interpretare posibilă ar fi că, date două puncte pe un plan, dreapta care le uneşte trebuie să fie conţinută în întregime în plan; dar poate că nu asta era ideea: într-adevăr, într-o propoziţie ulterioară, Euclid demonstrează că, fiind date două drepte paralele şi două puncte pe ele, dreapta care le uneşte stă pe planul definit de cele două drepte!
Trebuie observat şi că, spre deosebire de felul cum a procedat cu dreapta şi cu cercul, Euclid nu postulează existenţa planului.
În schimb, pentru definiţia conului, a cilindrului şi a sferei, Euclid alege conceptul de suprafaţă de rotaţie - obţinută prin rotaţia unei curbe plane (zisă generatoare) în jurul unei drepte (zisă axă de rotaţie). Iată definiţia sferei: Cartea a IX-a, Definiţia 14. Când un semicerc de diametru fixat e rotit până ajunge din nou în poziţia iniţială, figura care se obţine e o sferă.
Spre deosebire de cerc, pentru care Euclid dezvoltă o teorie consistentă (în Cartea a V-a), despre sferă vorbeşte foarte puţin.
Nici măcar nu demonstrează că punctele sferei sunt echidistante faţă de centrul sferei; sigur că demonstraţia e evidentă, pentru că fiecare punct stă pe un semicerc egal cu cel de plecare, fiind deci echidistant faţă de centrul acestuia.
SUPRAFEŢE
95
Cu excepţia lui Arhimede (de:"
spre care vom vorbi puţin mai încolo), matematica greacă nu aprofundează prea mult conceptul
de suprafaţă, preferă de departe geometria plană şi nu construieşte o teorie organică a obiectelor spaţiale.
O suprafaţă se numeşte riglată
dacă e acoperită de drepte - echivalent, dacă prin fiecare punct al său trece o dreaptă conţinută pe de-a-nFigura 3,2
