evolventa e traiectoria capătului firului în timpul desfăşurării lui complete. Faţă de evolventă, curba de plecare se numeşte evolută. De exemplu, evolventa unui cerc e o spirală
(figura 2.24).
Figura 2.24
CURBE
79
✓-
Figura 2.25
Huygens a observat că orice cicloidă e evoluta (sau evolventa) unei alte cicloide. A construit deci un pendul obligând firul la a cărui extremitate era legată bila grea să se mişte de-a lungul unor profile cicloidale, ca în figura 2.25. Ca atare, bila pendulului e forţată să se mişte pe o cicloidă, adică pe o traiectorie tautocronă*.
Noile tehnici de calcul au permis descrierea precisă a multor alte curbe celebre care reprezintă soluţiile unor probleme de natură matematică ori provenind din fizică sau inginerie. Printre acestea, curba exponenţială care rezolvă o problemă pusă de matematicianul Beaune, elev al lui Descartes, catenara (sau lănţişorul), curba după care se dispune un fir de masă uniformă supus doar gravitaţiei, izocrona, curba de-a lungul căreia o masă supusă
numai forţei gravitaţionale coboară liniar cu timpul. În fine, trebuie menţionată tractricea ( despre care vom vorbi în capitolul 3): e o curbă pe care Leibniz o descrie punând pe masă ceasul lui de buzunar, cu lanţul care-l lega de vestă bine întins: trăgând inelul lanţului în direcţie perpendiculară, ceasul se mişcă pe o
* Frecvenţa unui astfel de pendul nu depinde de amplitudine, lucru important în navigaţie pentru determinarea longitudinii. (N. tr.) 80
FORMA LUCRURILOR
curbă numită (tocmai de aceea)
tractrice. Altfel spus, e curba plană
cu proprietatea că, pe orice tangentă a ei, segmentul dintre punctul de contact şi intersecţia cu o dreaptă fixă (asimptota) are lungime constantă (figura 2.26).
CURBURA ... ŞI DRUMU L DREPT
SE PIERDE*
Să presupunem că sunteţi la vola
tractice
nul unei maşini, pe o stradă pe care
Figura 2.26
porţiunile drepte alternează cu
cele curbe. Pe porţiunile drepte, nici nu folosiţi volanul, dar când strada se curbează trebuie să-l acţionaţi, proporţional cu cât e de largă sau strânsă curba. Măsura rotaţiei volanului ne fumizează curbura străzii: când e O, strada e dreaptă; cu cât acţionăm mai mult volanul, cu atât mai mult se depărtează
strada de linia dreaptă.
Nu e uşor să dăm o semnificaţie matematică acestei intuiţii: vrem să asociem fiecărui punct al unei curbe un număr care să măsoare cât de mult se „curbează" ea în acel punct. În particular, acest număr ar trebui să fie O în toate punctele unei drepte; în cazul unui cerc, în schimb, un număr convenabil ar putea fi inversul razei, deoarece cu cât e raza mai mică, cu atât mai curbat e drumul.
Vom considera cazul simplu al curbelor plane fără puncte singulare. Am văzut înainte cum putem defini dreapta tangentă, cea care aproximează cel mai bine curba într-o vecinătate a punctului şi oferă informaţii despre direcţia curbei.
* Citat din Dante, Infernul: Nel mezzo del cammin di nostra vita mi ritrovai per una selva oscura che la diritta via era smarrita. (N. tr.) CURBE
81
Ca să studieze felul în care
curba se depărtează de tangenta
sa, Newton a introdus cercul osculator, adică cercul care aproximează cel mai bine curba într-un punct al ei P. Iată cum
se construieşte cercul osculator:
a
