Postulatul acesta e echivalent cu următorul: date o dreaptă şi un punct exterior ei, există o unică dreaptă care trece prin acel punct şi e paralelă cu dreapta de plecare.
Timp de aproape două mii de ani, mulţi matematicieni şi filozofi au încercat să demonstreze că acest postulat s-ar putea cumva deduce logic din cele dinaintea lui. La sfârşitul secolului XIX s-a înţeles că postulatul al cincilea e independent şi nu poate fi dedus clin precedentele, că acceptarea lui e parte integrantă a geometriei euclidiene. Negarea sa, ori, mai bine, o formulare diferită, duce la crearea geometriei neeuclidiene (pe care o vom discuta în capitolul 2).
Definiţiile şi postulatele sunt o încercare de a pune pe hârtie, într-un mod simplu şi necontradictoriu, ideile, formele geometrice ale lui Platon, acelea prezente cumva a priori în mintea noastră. Descrierea acestor forme fundamentale prin doar câteva proprietăţi le garantează o existenţă ideală şi ne permite să
construim o ştiinţă universal acceptată care modelează realitatea şi o interpretează.
46
FORMA LUCRURILOR
TEOREMA LUI PITAGORA: SE INTRĂ ÎN LUMEA IDEILOR
Odată ce avem conceptul de dreaptă -mai bine zis, odată ce-i cunoaştem cele patru proprietăţi caracteristice-, putem începe să facem geometrie folosind deducţii logice, adică să formulăm şi să demonstrăm propoziţii şi teoreme. Să luăm, de exemplu, cea mai cunoscută teoremă de geometrie, Teorema lui Pitagora.
Ca să o enunţăm, avem nevoie de câteva preliminarii pe care le derivăm din conceptul de dreaptă. O semidreaptă e dată
de un punct de pe o dreaptă, numit vâif, şi de una dintre cele două părţi în care acel punct împarte dreapta; un segment e locul punctelor unei drepte conţinute între două puncte numite vârfuri; un triunghi e format din trei segmente în aşa fel încât fiecare vârf al unui segment e vârf al încă unuia şi doar al unuia singur dintre celelalte două.
Segmentele pot fi comparate prin suprapunere; în particular, alegând un segment predeterminat drept unitate de măsură, segmentele pot fi măsurate. De exemplu, un segment are lungimea de 3 metri dacă segmentul unitate de măsură a unui metru, determinat de Biroul Internaţional de Măsuri şi Greutăţi de la Sevres, se poate suprapune de trei ori, fără intersecţii şi fără spaţii goale, peste segmentul de plecare.
Teorema lui Pitagora. Dat un triunghi cu unghi drept, fie a şi b lungimile segmentelor care formează unghiul drept (zise catete) şi c lungimea segmentului opus unghiului drept (ipotenuza) (figura 2.4). Atunci are loc următoarea identitate: az + bz = c2
Cu alte cuvinte, suma ariilor
pătratelor construite pe cate- a
tele triunghiului e egală cu
aria pătratului construit pe
ipotenuză.
E, cu siguranţă, teorema
cea mai faimoasă din istoria
Figura 2.4
CURBE
47
geometriei; un rezultat folosit frecvent de ingineri, încă de pe ...
vremea babilonienilor şi egiptenilor. Chiar dacă toţi aflăm despre el încă din gimnaziu, continuă să uimească prin originalitatea şi, aş îndrăzni să spun, prin extravaganţa enunţului; cui i-o fi venit în minte o asemenea relaţie? S-a observat probabil că relaţia era adevărată pentru nişte triunghiuri particulare, cum se vede, de exemplu, pe tăbliţa babiloniană reprezentată
în primul capitol. Fantezia, combinată cu nu puţină îndrăzneală, i-a permis lui Pitagora să raţionalizeze experienţa şi să
demonstreze enunţul pentru orice triunghi dreptunghic. În felul acesta însă se avansează periculos către lucruri pe care oamenii vremii aceleia nu le puteau stăpâni. Printre ele, faptul că diagonala unui pătrat de latură unitară are lungimea egală
cu rădăcina pătrată a lui 2: acesta nu e un număr raţional, adică
nu se poate exprima ca multiplu al unităţii de măsură sau ca fracţie a ei, ceea ce pitagoreicii numeau incomensurabil.
Există azi zeci de demonstraţii ale acestei teoreme; probabil că primele au fost obţinute prin simple manipulări ale ariilor, poate aranjând dale dintr-un pavaj, după cum sugerează
figura 2.5.
Se iau două pătrate egale de latură a + b şi din fiecare se scot patru triunghiuri dreptunghice egale, cu catetele a şi b, evidenţiate în gri, dar în două moduri diferite. Cum pătratele iniţiale au aceeaşi arie şi amândurora li se elimină aceleaşi a
b
Figura 2.5
48
FORMA LUCRURILOR
