Metrica permite calculul lungimii oricărei curbe, împăr
ţind-o în porţiuni infinitezimale şi însumând, sau, mai corect spus, integrând măsurile tuturor acestor porţiuni. Pe o varietate riemanniană se poate căuta curba de lungime minimă
dintre două puncte date, adică geodezica varietăţii. La fel ca în cazul suprafeţelor, problema aceasta variaţională se traduce printr-o ecuaţie diferenţială.
În general, soluţia acestor ecuaţii diferenţiale există şi e unic determinată de valorile iniţiale (în cazul geodezicei, acestea sunt punctul de plecare şi direcţia iniţială). Sunt cazuri în care se pot găsi soluţii analitice complete, adică ecuaţii care depind de un parametru şi descriu curba geodezică odată cu variaţia acestuia. În alte cazuri, soluţia e doar aproximativă, de exemplu, poate fi formată din curbe liniare pe porţiuni obţinute prin metode numerice, cu ajutorul calculatorului.
152 FORMA LUCRURILOR
Citind mai departe textul lui Riemann, ajungem la ceea ce putem defini drept problema fundamentală: care sunt proprietăţile matematice care determină o anumită varietate riemanniană; şi cum putem distinge varietăţile între ele.
Mai precis, Riemann caută o condiţie necesară şi suficientă
pentru ca o varietate riemanniană să fie plată, adică să fie spa
ţiul obişnuit. Altfel spus, dându-se o varietate riemanniană, definită de coordonate (x"x2, • • • x) şi dotată cu metrica ds = .J g11dx� + . . . + g dxi dxj + . . . + gnndx�
ij
când admite ea alte coordonate, (y"y 2, • • • y 0), în care metrica ia forma ds = .Jdy� + . . . + dl + . . . + dy; ?
În dimensiune 2, pentru suprafeţe, un prim răspuns e furnizat de teorema egregium a lui Gauss: o suprafaţă e (local izometrică cu) un plan numai dacă curbura sa gaussiană e nulă.
Anularea curburii e deci o condiţie necesară pentru ca suprafaţa să fie planul euclidian.
Pentru a rezolva problema în general, Riemann porneşte prin a observa că curbura gaussiană e o caracteristică intrinsecă a suprafeţelor. Acest lucru e o consecinţă a formulei lui Gauss care exprimă curbura în funcţie de un triunghi geodezic Tpe care e presupusă constantă:
K = a + p + y - ,r
AT
unde a, p şi y sunt unghiurile interioare ale triunghiului, iar A e aria lui. Datele din dreapta semnului egal, măsuri de un
T
ghiuri şi aria unui triunghi geodezic, sunt date intrinsece, depind numai de metrică şi nu de spaţiul ambient.
Plecând de la aceste consideraţii, Riemann construieşte un invariant intrinsec asociat unui punct de pe o varietate n-dimensională: primul embrion al conceptului de tensor de curbură
riemanniană, care va fi dezvoltat de mulţi matematicieni şi fizicieni în anii care au urmat.
GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 153
lată, pe scurt şi simplificând mult, cum procedează Rie: mann: într-un punct P de pe varietatea riemanniană, consideră două direcţii independente care pleacă din P şi planul generat de ele. Consideră deci suprafaţa de pe varietate formată de toate geodezicele care pleacă din punctul P şi au direcţia conţinută în planul descris. Calculează apoi, cu metoda lui Gauss, curbura acestei suprafeţe în punctul P ; azi o numim
curbură secţională a varietăţii de-a lungul suprafeţei generate de cele două direcţii de plecare. Dar pe o varietate de dimensiune n, prin orice punct trec n direcţii independente, una pentru fiecare parametru; iar dintr-o mulţime de n direcţii se pot alege două (care, în cazul nostru, vor fi implicit independente) în exact n(n - 1 )/2 moduri. Aşadar, construcţia lui Riemann asociază fiecărui punct n(n - 1 )/2 curburi secţionale independente. Ceea ce îi permite să observe: Mărimea aceasta ( ... J depinde numai de locul şi de direcţia acestuia [elementului de suprafaţă]. 1 .. 1 Valoarea ei devine natural egală cu O dacă varietatea reprezentată este plană 1 ... 1
şi ca atare poate fi considerată ca măsură a abaterii de la
,,planeitate" în acest punct şi în această direcţie a suprafeţei.*
Condiţia de a avea curburi secţionale nule e deci o condiţie necesară pentru platitudine (planeitate).
Am găsit înainte că, pentru determinarea metricii unei varietăţi cu n dimensiuni reprezentabile în forma presupusă sunt necesare n(n - 1 )/2 funcţii de poziţie. Aşadar, dacă se dă curbura în fiecare punct în n(n - 1 )/2 direcţii de pe suprafaţă, se va putea determina de aici metrica suprafeţei, cu condiţia ca între aceste valori să nu existe relaţii identice, ceea ce, de fapt, în general nu se întâmplă. Astfel, metrica acestor varietăţi 1 .•. J
poate fi exprimată în mod cu totul independent de alegerea mărimilor variabile. 1 ... 1 pentru determinarea relaţiilor
* B. Riemann, Ipotezele care stau la baza geometriei, trad. de E. Gergely, Ed. Tehnică, 1963. (N. tr.)
154 FORMA LUCRURILOR
metrice [ale unei varietăţi plate] este suficient să se ştie că în fiecare punct, în n(n - 1)/2 direcţii de pe suprafaţă, ale căror curburi sunt independente una de alta, acestea sunt nule.*
Condiţia de a avea curburi secţionale nule e deci şi o condiţie suficientă pentru platitudine (planeitate).
Varietăţile în care curbura în fiecare punct este egală cu O
pot fi considerate ca un caz special al acelor varietăţi a căror curbură e constantă în fiecare punct. Caracterul comun al acestor varietăţi, a căror curbură este constantă, se poate exprima şi prin aceea că figurile se pot mişca în cuprinsul lor fără a se întinde. Căci este evident că figurile nu pot fi supuse la nici o translaţie şi rotaţie în aceste suprafeţe dacă
curbura n-ar fi aceeaşi în fiecare punct şi în toate direcţiile.
Pe de altă parte însă, metrica varietăţii e complet determinată de curbură. 1 .•. J Metrica acestor varietăţi depinde numai de valoarea curburii şi, în ce priveşte expresia analitică 1 ... 1, se poate da expresia elementului de linie sub forma
