I
/ 2
2
2
ds = ---�---_ -_-_ -_ -_ -_'\Jdxl + ... + dx; + ... + dxn
a I 2
2
I + 4 V X1 + . . . + x„
dacă se notează valoarea curburii cu a.**
Rândurile de mai sus reprezintă o demonstraţie - corectă, dar nu îndeajuns de detaliată - a următorului rezultat.
Teorema lui Riemann. O varietate n-dimensională e plată
dacă şi numai dacă, în orice punct al ei, n(n - I )/2 curburi secţionale independente sunt nule. Curburile secţionale sunt intrinsece varietăţii şi nu depind de alegerea parametrilor. Dacă curburile secţionale sunt constante şi egale cu a, atunci reprezentarea analitică a metricii e dată de formula
I
/ 2
2
2
ds = --::::---;::=======-vdxl + . . . + dx; + . . . + dxn
a J 2
2
l + 4vX1 + . . . + x„
* Idem. (N. tr.)
** Idem. (N. tr.)
GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 155
În general, curburile secţionale (definite convenabil) deter-...
mină metrica în orice punct.
E poate util să rezumăm cele spuse până aici: spaţiul plat, acela cu distanţa dată de teorema lui Pitagora, e doar una dintre multele posibilităţi de varietate riemanniană. Curburile sec
ţionale sunt instrumentul cu care noi, locuind în interiorul varietăţii, putem măsura cât de mult se îndepărtează ea de spaţiul plat, deci cât de mult se curbează. Curburile ne permit şi să clasificăm varietăţile, adică să le împărţim în clase: una dintre aceste clase, pusă în evidenţă de Riemann, apoi şi de alţi geometri, e aceea a varietăţilor cu curbură constantă.
Prelegerea conţine anumite afirmaţii care ar trebui aprofundate: printre acestea, cerinţa ca „printre aceste valori [ale curburilor secţionale] să nu existe relaţii identice, ceea ce, de fapt, în general nu se întâmplă". Curburile secţionale, spunem azi, trebuie să fie calculate pentru suprafeţe normalizate convenabil, un procedeu tehnic mai complicat.
Prelegerea de la Gottingen se încheie cu un capitol intitulat
„Aplicaţie la spaţiu", în care Riemann discută conexiuni între ideile introduse de el şi realitatea descrisă de fizică. Sunt consideraţii care vor influenţa major atât dezvoltarea geometriei, cât şi a fizicii.
Prezint prima dintre acestea folosind cuvintele lui Alexander Grothendieck din Reco/tes et semai//es (p. 67-68; textul integral poate fi accesat la adresa https://ipfs.io/ipfs/QmaWmdeyPX-4dA8dHVhNN2qRtVL W qKTTVMHgHufZMUJut3F):
[Riemann] observă că e foarte posibil ca structura cea mai intimă a spaţiului să fie „discretă", iar reprezentările „continue" ale spaţiului pe care ni le construim noi constituie poate o simplificare (posibil excesivă, în definitiv ... ) a unei realităţi mai complexe; că mintea omenească percepe mai uşor „continuu!" decât „discontinuul", astfel încât cel dintâi ne foloseşte ca o „aproximaţie" pentru a înţelege discontinuul. E aici o observaţie surprinzător de pătrunzătoare în 156 FORMA LUCRURILOR
gura unui matematician, într-un moment în care modelul euclidian al spaţiului fizic încă nu fusese pus în discuţie; în sens strict logic, în mod tradiţional, mai degrabă discontinuul a servit drept model de abordare tehnică a continuului.
La jumătatea secolului trecut, Andre Weil şi Alexander Grothendieck dezvoltă, în interiorul geometriei algebrice introduse de Descartes, un sector dedicat studiului entităţilor geometrice discrete care are azi aplicaţii în multe domenii din informatică, mai ales în securitatea datelor.
Cât priveşte a doua observaţie, citez din nou cuvintele lui Riemann:
1 •.. 1 problema bazei interne a relaţiilor metrice ale spaţiului.
Acestei probleme, care poate fi socotită ca făcând parte din teoria spaţiului, i se aplică observaţia de mai înainte, şi anume că, în cazul unei varietăţi discrete, principiul rela
ţiilor metrice este conţinut deja în noţiunea de varietate, dar în cazul unei varietăţi continue, el trebuie să fie împrumutat din altă parte. Aşadar, este necesar fie ca realitatea care stă la baza spaţiului să formeze o varietate discretă, fie ca baza relaţiilor metrice să fie căutată în afară, în forţele de legătură [bindenen Kraften] care acţionează asupra lor. 1 ... 1
