Răspunsul vine de la principiul fizic pe care se sprijină teoria relativităţii restrânse: particulele nu se pot deplasa cu viteză
mai mare decât a luminii. Or, principiul acesta e verificat numai dacă relaţiile metrice sunt determinate de o porţiune infinitezimală pentru care pătratul lungimii e dat de formula ds2 = c2dt2 - dx2 - dy2 - dz2
unde c notează viteza luminii în vid.
Varietatea aceasta, determinată de principii din fizică, se numeşte azi spaţiu-timp Minkowski. Nu e o varietate riemanniană, ci e primul exemplu de varietate semi-riemanniană: una a cărei metrică e definită cu o formulă de tipul
ds2 = g11dx/ + . . . + g dxij
idxi + . . . + gnndx/
adică de o formă pătratică în diferenţialele dx; care nu mai e neapărat pozitivă, în sensul că matricea simetrică a funcţiilor g/xl'x 2, • • • x0) poate avea şi valori proprii negative.
În aceste ipoteze, unele puncte ale varietăţii pot avea pătratul distanţei dintre ele negativ, o noutate radicală, contraintuitivă pentru ideea fizică de spaţiu dinainte de Einstein şi de Minkowski.
Calculul tensorial se extinde bine la varietăţi semi-riemanniene. În particular, şi pe acestea putem defini tensorul lui Riemann, la fel şi tensorii derivaţi din el, cum sunt tensorul lui Ricci şi curbura scalară.
Einstein însă n-a fost mulţumit cu această primă teorie şi, zece ani mai târziu, în 1915, a formulat una mai generală, capabilă să
înglobeze şi forţa gravitaţiei, extinzând astfel teoria clasică a lui GEOMETRIA DIN ZILELE NOASTRE 161
Newton. În teoria relativităţii generale, o teorie geometrică, de fapt, "'"
el propune un model de varietate 4-climensională, spaţio-temporală, dotată cu o metrică g semi-riemanniană de tip Minkowski, compatibilă deci cu teoria restrânsă, determinată ulterior de observaţii ale fizicii experimentale asupra forţei gravitaţionale.
Aceste observaţii îl conduc la scrierea uneia dintre cele mai celebre ecuaţii din istoria gândirii ştiinţifice, ecuaţia de câmp a lui Einstein;
Ric _ ..!_s g = 81rT
g
2 g
unde Ric şi s notează, respectiv, curbura Ricci şi curbura scalară
g
g
a metricii g, iar Te tensorul energie impuls- un tensor de rangul 2
care conţine întreaga informaţie care vine clin fizică, în particular din proprietăţile materiei. A rezolva această ecuaţie revine la a găsi metrica, dimpreună cu curburile sale Ricci şi scalară.
Einstein pare să urmeze fidel indicaţiile lui Riemann după
care metrica spaţiului trebuie să fie determinată de forţele constrângătoare care acţionează asupra lui.
E greu să explicăm pe ce se bazează această ecuaţie: ar fi să
aducem argumente din fizică, argumente care nu-şi au locul aici. Dar o anume analogie poate fi căutată cu problema mai simplă a brahistocronei, despre care am vorbit în capitolul 2.
În acel caz, se puneau laolaltă principii din fizică, legea lui Galilei, cu cerinţa de minim, exprimată prin condiţia lui Snell, şi restricţiile geometrice ale geometriei plane. În acest caz, se ajunge la ecuaţie punând laolaltă principii analoage: cele din fizică, conţinute în tensorul T, acela conform căruia lumina se deplasează cu viteza maximă, descris în signatura metricii semi-riemanniene, şi principiile de natură mai geometrică
reprezentate de prima parte a ecuaţiei, unde intervine curbura.
Nu ne sunt nici azi pe de-a-ntregul limpezi motivaţiile care l-au făcut pe Einstein să scrie această ecuaţie. E sigur că voia să ţină seama de teoria relativităţii restrânse şi de teoria clasică
newtoniană. A ajuns la forma finală după multe aproximări, corectate şi revăzute în aspectele matematice inclusiv pe parcursul unei celebre corespondenţe epistolare cu Levi-Civita.
162 FORMA LUCRURILOR
Numeroase teorii geometrice şi fizice din a doua jumătate a secolului trecut au confirmat validitatea teoretică a ecuaţiei, punându-i în evidenţă unicitatea.
Einstein îşi descrie ecuaţia ca pe un monument lucrat în marmură preţioasă (partea stângă, care priveşte geometria) şi din lemn de calitate inferioară (partea dreaptă, care priveşte materia).
Asupra părţii acesteia, din lemn, se concentrează fizicienii, ca nişte tâmplari care sculptează în el un model al spaţiului. Einstein însuşi s-a pus pe căutat o formalizare mulţumitoare a tensorului T - chiar şi azi, foarte departe de a fi găsită.
Prin notaţia tensorială, ecuaţia reuneşte de fapt zece ecua
ţii diferenţiale neliniare cu derivate parţiale. Odată stabilit un tensor energie-impuls convenabil, o soluţie determină, prin intermediul curburilor Ricci şi scalară, o varietate semi-riemanniană de dimensiune 4 (şi, de asemenea, alte obiecte cu interpretare fizică, cum sunt câmpurile de materie).
În general, asemenea ecuaţii sunt extrem de greu de rezolvat. O mulţime de fizicieni matematicieni caută azi soluţii cu metode numerice, folosind calculatorul şi programe foarte avansate; relativitate numerică se numeşte azi tâmplăria modernă unde se proiectează posibilele structuri geometrice ale universului nostru.
Una dintre consecinţele teoriei relativităţii generale şi a ecuaţiei de câmp e existenţa undelor gravitaţionale, fenomen întrevăzut iniţial de Poincare în 1905, apoi teoretizat de Einstein în 1916. Pot fi gândite ca o soluţie a ecuaţiei de câmp care admite un comportament ondulator al curburii odată cu variaţia timpului. Deşi era sigur de existenţa lor, Einstein se îndoia că ele ar putea fi puse în evidenţă cu vreun experiment (care i-ar fi confirmat o dată în plus teoria). În 2016, o echipă
