Să nu ne lăsăm înşelaţi de relativa simplitate a formulelor; e vorba despre numere complexe z = x + iy şi de produse între numere complexe. Poincare arată şi că acest grup e, la rândul lui, restricţia unui grup care acţionează asupra spaţiului tridimensional conservând o anumită metrică hiperbolică: astfel, el urmează drumul lui Beltrami, dar în spiritul Programului de la Erlangen.
170 FORMA LUCRURILOR
Utilizarea numerelor complexe în geometrie nu e o noutate: primul care le-a înţeles importanţa strategică a fost Riemann, trecând prin studii de electromagnetism, dar le folosiseră deja Euler şi Gauss (mai mult sau mai puţin conştient). Folosind numerele complexe şi, mai ales, proprietăţile funcţiilor regulate de o variabilă complexă, studiate în teza sa de doctorat din 1851, Riemann şi apoi Poincare descoperă una dintre cele mai frumoase teoreme din matematica modernă:
Teorema de uniformizare. Orice suprafaţă riemanniană simplu conexă e conformă cu o suprafaţă cu curbură constantă.
Dacă curbura e pozitivă, toate aceste suprafeţe sunt conforme cu sfera; dacă e negativă, atunci sunt conforme cu suprafaţa hiperbolică a lui Beltrami.
Într-un fel, teorema aceasta închide problema existenţei şi a clasificării geometriilor plane, adică a varietăţilor riemanniene de dimensiune 2, neeuclidiene: până la transformări conforme, în ipoteza (tehnică) a simplei conexiuni pe care o vom discuta mai încolo, sunt numai două. Unul dintre obiectivele majore ale geometriei secolului XX a fost extinderea acestei teoreme la dimensiuni mai mari.
CUM SĂ PAVEZI SPAŢI U L
Problema pavajului unui plan, adică felul în care poate fi acoperit cu unul sau mai multe poligoane (dalele pavajului) repetate la infinit fără suprapuneri, e una foarte veche şi strâns legată de studiul izometriilor.
Modelele de pe marii pereţi ai
palatului Alhambra, din Granada,
descriu multe posibilităţi de pavaj
al planului euclidian. Figura 4.3 e o
reproducere digitală a unuia dintre
aceşti pereţi.
Figura 4.3
GEOMETRIA DIN ZI LELE NOASTRE 171
Natura oferă o mulţime de ...
exemple de pavaj. Uluitor e acela
al fagurilor unui stup de albine,
obţinut cu dale hexagonale (figura 4.4).
Figura
Pavajele regulate ale planului,
4. 1-
cu un singur poligon regulat, sunt
de numai trei feluri: cu pătrate, cu
triunghiuri echilaterale şi cu
hexagoane regulate (fagurii).
Problema se poate pune şi
pentru suprafeţe neeuclidiene şi
chiar în dimensiune mai mare;
pavajele de felul acesta au foarte
multe aplicaţii, de exemplu în
crearea de materiale cu rezistenţă
Figura 4.5
